Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{8} (\sqrt[3]{x} - \frac{1}{x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} \frac{1}{x} d x$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1.1

Évaluez $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ sur $8$ et sur $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

Étape 7.1.2

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $8$ et sur $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3

Simplifiez

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Étape 7.1.3.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.5

Associez $\frac{3}{4}$ et $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.6

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.7

Annulez le facteur commun à $48$ et $4$ .

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Étape 7.1.3.7.1

Factorisez $4$ à partir de $48$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.3.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.7.2.4

Divisez $12$ par $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$12 - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.10

Pour écrire $12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.11

Associez $12$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 \cdot 4 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.3.13.1

Multipliez $12$ par $4$ .

$\frac{48 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.13.2

Soustrayez $3$ de $48$ .

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.1.3.14

Pour écrire $- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{4}{4}$

Étape 7.1.3.15

Associez $- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45}{4} + \frac{- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Étape 7.1.3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{45 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Étape 7.1.3.17

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{45 - 4 (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Étape 7.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{| 8 |}{| 1 |})}{4}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $8$ est $8$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{| 1 |})}{4}$

Étape 7.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{1})}{4}$

Étape 7.3.3

Divisez $8$ par $1$ .

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

Forme décimale :

$9.17055845 \dots$

Étape 9