Calcul infinitésimal Exemples

$- 3 y + x y = x^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- 3 y + x y) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 y + x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 y$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 3 y' + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- 3 y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 3 y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 y' + x y' + y \cdot 1$

Étape 2.3.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$- 3 y' + x y' + y$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x y' + y - 3 y'$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x y' + y - 3 y' = 3 x^{2}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' - 3 y' = 3 x^{2} - y$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $x y' - 3 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $x y'$ .

$y' x - 3 y' = 3 x^{2} - y$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y'$ .

$y' x + y' \cdot - 3 = 3 x^{2} - y$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' x + y' \cdot - 3$ .

$y' (x - 3) = 3 x^{2} - y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (x - 3) = 3 x^{2} - y$ par $x - 3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (x - 3) = 3 x^{2} - y$ par $x - 3$ .

$\frac{y' (x - 3)}{x - 3} = \frac{3 x^{2}}{x - 3} + \frac{- y}{x - 3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x - 3)}{x - 3} = \frac{3 x^{2}}{x - 3} + \frac{- y}{x - 3}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{x - 3} + \frac{- y}{x - 3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{3 x^{2}}{x - 3} - \frac{y}{x - 3}$

Étape 5.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{3 x^{2} - y}{x - 3}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y}{x - 3}$