Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{e^{\frac{2}{x}}}{3 x^{2}} d x$

Étape 1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{e^{\frac{2}{x}}}{x^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = \frac{2}{x}$ . Alors $d u = - \frac{2}{x^{2}} d x$ , donc $1 d u = - \frac{2}{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \frac{2}{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.1.3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Étape 2.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Étape 2.1.6

Simplifiez

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Étape 2.1.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.1.6.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.6.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 2.1.6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{2} e^{u} d u$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $- \frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{1}{6} \int e^{u} d u$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u} + C)$

Étape 6

Simplifiez

$- \frac{1}{6} e^{u} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2}{x}$ .

$- \frac{1}{6} e^{\frac{2}{x}} + C$