Calcul infinitésimal Exemples

$1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

Étape 1

Écrivez $1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ comme une fonction.

$f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Étape 6

Laissez $u = \frac{x}{2}$ . Alors $d u = \frac{1}{2} d x$ , donc $2 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = \frac{x}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 6.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) \cdot 2 d u$

Étape 7.3

Déplacez $2$ à gauche de $\tan^{2} (u)$ .

$x + C + \int 2 \tan^{2} (u) d u$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x + C + 2 \int \tan^{2} (u) d u$

Étape 9

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (u)$ comme $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$x + C + 2 \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x + C + 2 (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + 2 (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

Étape 12

Comme la dérivée de $\tan (u)$ est $\sec^{2} (u)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (u)$ est $\tan (u)$ .

$x + C + 2 (- u + C + \tan (u) + C)$

Étape 13

Simplifiez

$x - 2 u + 2 \tan (u) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$x - 2 \frac{x}{2} + 2 \tan (\frac{x}{2}) + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$