Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{6 x + 2}{(x + 1) (2 x + 1)} d x$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x + 2$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$\frac{2 (3 x) + 2}{(x + 1) (2 x + 1)}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (3 x) + 2 (1)}{(x + 1) (2 x + 1)}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (3 x + 1)}{(x + 1) (2 x + 1)}$

Étape 1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Étape 1.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{2 x + 1}$

Étape 1.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(x + 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{2 (3 x + 1) (x + 1) (2 x + 1)}{(x + 1) (2 x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.1.5

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x + 1) (x + 1) (2 x + 1)}{(x + 1) (2 x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (3 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.1.6

Annulez le facteur commun de $2 x + 1$ .

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Étape 1.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.1.6.2

Divisez $2 (3 x + 1)$ par $1$ .

$2 (3 x + 1) = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$2 (3 x) + 2 \cdot 1 = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.1.8

Multipliez.

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Étape 1.1.8.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x + 2 \cdot 1 = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.1.8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$6 x + 2 = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.1.9.1.1

Annulez le facteur commun.

$6 x + 2 = \frac{A (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.1.9.1.2

Divisez $(A) (2 x + 1)$ par $1$ .

$6 x + 2 = (A) (2 x + 1) + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 x + 2 = A (2 x) + A \cdot 1 + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.1.9.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 x + 2 = 2 A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.1.9.4

Multipliez $A$ par $1$ .

$6 x + 2 = 2 A x + A + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.1.9.5

Annulez le facteur commun de $2 x + 1$ .

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Étape 1.1.9.5.1

Annulez le facteur commun.

$6 x + 2 = 2 A x + A + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Étape 1.1.9.5.2

Divisez $(B) (x + 1)$ par $1$ .

$6 x + 2 = 2 A x + A + (B) (x + 1)$

Étape 1.1.9.6

Appliquez la propriété distributive.

$6 x + 2 = 2 A x + A + B x + B \cdot 1$

Étape 1.1.9.7

Multipliez $B$ par $1$ .

$6 x + 2 = 2 A x + A + B x + B$

Étape 1.1.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.10.1

Déplacez $A$ .

$6 x + 2 = 2 x A + A + B x + B$

Étape 1.1.10.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $x$ .

$6 x + 2 = 2 x A + A + B x + B$

Étape 1.1.10.3

Déplacez $A$ .

$6 x + 2 = 2 x A + B x + A + B$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$6 = 2 A + B$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$2 = A + B$

Étape 1.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$6 = 2 A + B$

$2 = A + B$

$6 = 2 A + B$

$2 = A + B$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.3.1

Résolvez $B$ dans $6 = 2 A + B$ .

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $2 A + B = 6$ .

$2 A + B = 6$

$2 = A + B$

Étape 1.3.1.2

Soustrayez $2 A$ des deux côtés de l’équation.

$B = 6 - 2 A$

$2 = A + B$

$B = 6 - 2 A$

$2 = A + B$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $6 - 2 A$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $2 = A + B$ par $6 - 2 A$ .

$2 = A + 6 - 2 A$

$B = 6 - 2 A$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $2 = A + 6 - 2 A$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.2.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$2 = A + 6 - 2 A$

$B = 6 - 2 A$

$2 = A + 6 - 2 A$

$B = 6 - 2 A$

Étape 1.3.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.2.2.1

Soustrayez $2 A$ de $A$ .

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

Étape 1.3.3

Résolvez $A$ dans $2 = - A + 6$ .

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Étape 1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- A + 6 = 2$ .

$- A + 6 = 2$

$B = 6 - 2 A$

Étape 1.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.3.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- A = 2 - 6$

$B = 6 - 2 A$

Étape 1.3.3.2.2

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- A = - 4$

$B = 6 - 2 A$

$- A = - 4$

$B = 6 - 2 A$

Étape 1.3.3.3

Divisez chaque terme dans $- A = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $- A = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- A}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

Étape 1.3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{A}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

Étape 1.3.3.3.2.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

$A = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

Étape 1.3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.3.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

Étape 1.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $4$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $B = 6 - 2 A$ par $4$ .

$B = 6 - 2 \cdot 4$

$A = 4$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.4.2.1

Simplifiez $6 - 2 \cdot 4$ .

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Étape 1.3.4.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$B = 6 - 8$

$A = 4$

Étape 1.3.4.2.1.2

Soustrayez $8$ de $6$ .

$B = - 2$

$A = 4$

$B = - 2$

$A = 4$

$B = - 2$

$A = 4$

$B = - 2$

$A = 4$

Étape 1.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$B = - 2, A = 4$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{2 x + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{4}{x + 1} + \frac{- 2}{2 x + 1}$

Étape 1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{0}^{1} \frac{4}{x + 1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} \frac{4}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

Étape 4

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$4 \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - \int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} d x$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Étape 8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x$

Étape 9

Laissez $u_{2} = 2 x + 1$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{2} = 2 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 9.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 9.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 9.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 9.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 9.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 9.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 9.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 9.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 9.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 9.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 9.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

Étape 9.5

Simplifiez

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Étape 9.5.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Étape 9.5.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$u_{upper} = 3$

Étape 9.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Étape 9.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 10.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{3} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{- 2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 12.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 12.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 12.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{- 1}{1} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 12.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 13

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{3})$

Étape 14

Remplacez et simplifiez.

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Étape 14.1

Évaluez $\ln (| u_{1} |)$ sur $2$ et sur $1$ .

$4 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{3})$

Étape 14.2

Évaluez $\ln (| u_{2} |)$ sur $3$ et sur $1$ .

$4 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 14.3

Supprimez les parenthèses.

$4 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) - (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 15.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$4 \ln (\frac{2}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Étape 16.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$4 \ln (\frac{2}{1}) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Étape 16.3

Divisez $2$ par $1$ .

$4 \ln (2) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Étape 16.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$4 \ln (2) - \ln (\frac{3}{| 1 |})$

Étape 16.5

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$4 \ln (2) - \ln (\frac{3}{1})$

Étape 16.6

Divisez $3$ par $1$ .

$4 \ln (2) - \ln (3)$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$4 \ln (2) - \ln (3)$

Forme décimale :

$1.67397643 \dots$

Étape 18