Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- \frac{1}{2}}^{0} \frac{14}{\sqrt{25 - 25 x^{2}}} d x$

Étape 1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , placez $14$ en dehors de l’intégrale.

$14 \int_{- \frac{1}{2}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 - 25 x^{2}}} d x$

Étape 2

Laissez $x = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 3.1.2

Factorisez $25$ à partir de $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Étape 3.1.3

Factorisez $25$ à partir de $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Étape 3.1.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 3.1.5

Réécrivez $25 \cos^{2} (t)$ comme ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Étape 3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{5 \cos (t)} \cos (t) d t$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $5 \cos (t)$ .

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\cos (t) \cdot 5} \cos (t) d t$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\cos (t) \cdot 5} \cos (t) d t$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{5} d t$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$14 (\frac{1}{5} t]_{- \frac{π}{6}}^{0})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $t$ .

$14 (\frac{t}{5}]_{- \frac{π}{6}}^{0})$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{t}{5}$ sur $0$ et sur $- \frac{π}{6}$ .

$14 ((\frac{0}{5}) - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$14 (\frac{5 (0)}{5} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$14 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Étape 5.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$14 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Étape 5.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$14 (\frac{0}{1} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Étape 5.2.2.1.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$14 (0 - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Étape 5.2.2.2

Réécrivez $\frac{- \frac{π}{6}}{5}$ comme un produit.

$14 (0 - (- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{5}))$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{π}{6}$ .

$14 (0 - - \frac{π}{5 \cdot 6})$

Étape 5.2.2.4

Multipliez $5$ par $6$ .

$14 (0 - - \frac{π}{30})$

Étape 5.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$14 (0 + 1 \frac{π}{30})$

Étape 5.2.2.6

Multipliez $\frac{π}{30}$ par $1$ .

$14 (0 + \frac{π}{30})$

Étape 5.2.2.7

Additionnez $0$ et $\frac{π}{30}$ .

$14 \frac{π}{30}$

Étape 5.2.2.8

Associez $14$ et $\frac{π}{30}$ .

$\frac{14 π}{30}$

Étape 5.2.2.9

Annulez le facteur commun à $14$ et $30$ .

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Étape 5.2.2.9.1

Factorisez $2$ à partir de $14 π$ .

$\frac{2 (7 π)}{30}$

Étape 5.2.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$\frac{2 (7 π)}{2 (15)}$

Étape 5.2.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (7 π)}{2 \cdot 15}$

Étape 5.2.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 π}{15}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{7 π}{15}$

Forme décimale :

$1.46607657 \dots$

Étape 7