Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{12}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

Étape 1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 9}} d x$

Étape 2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}} d x$

Étape 3

L’intégrale de $\frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)$

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Étape 4.1.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| x |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Étape 4.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $arcsec (| x |)$ .

$12 (\frac{arcsec (| x |)}{3}]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{arcsec (| x |)}{3}$ sur $2$ et sur $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$12 (\frac{arcsec (| 2 |)}{3} - \frac{arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 \frac{arcsec (| 2 |) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$12 \frac{arcsec (2) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $arcsec (2)$ est $\frac{π}{3}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Étape 5.2.3

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ est d’environ $1.15470053$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})}{3}$

Étape 5.2.4

La valeur exacte de $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{6}}{3}$

Étape 5.3

Pour écrire $\frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}}{3}$

Étape 5.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.4.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}}{3}$

Étape 5.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}}{3}$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 \frac{\frac{π \cdot 2 - π}{6}}{3}$

Étape 5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$12 \frac{\frac{2 \cdot π - π}{6}}{3}$

Étape 5.6.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$12 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 5.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.7.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$3 (4) \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 5.7.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 4 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 5.7.3

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{π}{6}$

Étape 5.8

Associez $4$ et $\frac{π}{6}$ .

$\frac{4 π}{6}$

Étape 5.9

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 5.9.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$\frac{2 (2 π)}{6}$

Étape 5.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Étape 5.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Étape 5.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 π}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 π}{3}$

Forme décimale :

$2.09439510 \dots$

Étape 7