Calcul infinitésimal Exemples

$302.2 (\frac{103^{x}}{100^{x}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Associez $302.2$ et $\frac{103^{x}}{100^{x}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{302.2 \cdot 103^{x}}{100^{x}}]$

Étape 1.2

Comme $302.2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{302.2 \cdot 103^{x}}{100^{x}}$ par rapport à $x$ est $302.2 \frac{d}{d x} [\frac{103^{x}}{100^{x}}]$ .

$302.2 \frac{d}{d x} [\frac{103^{x}}{100^{x}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 103^{x}$ et $g (x) = 100^{x}$ .

$302.2 \frac{100^{x} \frac{d}{d x} [103^{x}] - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{{(100^{x})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(100^{x})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$302.2 \frac{100^{x} \frac{d}{d x} [103^{x}] - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{x \cdot 2}}$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$302.2 \frac{100^{x} \frac{d}{d x} [103^{x}] - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $103$ .

$302.2 \frac{100^{x} (103^{x} \ln (103)) - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Réécrivez $103^{x} \cdot 100^{x}$ comme ${(103 \cdot 100)}^{x}$ .

$302.2 \frac{{(103 \cdot 100)}^{x} \ln (103) - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

Étape 5.2

Multipliez $103$ par $100$ .

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $100$ .

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - 103^{x} (100^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Réécrivez $100^{x} \cdot 103^{x}$ comme ${(100 \cdot 103)}^{x}$ .

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - {(100 \cdot 103)}^{x} \ln (100)}{100^{2 x}}$

Étape 7.2

Multipliez $100$ par $103$ .

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - 10300^{x} \ln (100)}{100^{2 x}}$

Étape 7.3

Associez $302.2$ et $\frac{10300^{x} \ln (103) - 10300^{x} \ln (100)}{100^{2 x}}$ .

$\frac{302.2 (10300^{x} \ln (103) - 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{302.2 (10300^{x} \ln (103)) + 302.2 (- 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $302.2 (10300^{x} \ln (103))$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln (103)$ et $302.2$ .

$\frac{302.2 \cdot \ln (103) \cdot 10300^{x} + 302.2 (- 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Étape 8.2.1.1.2

Simplifiez $302.2 \cdot \ln (103)$ en déplaçant $302.2$ dans le logarithme.

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} + 302.2 (- 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $302.2 (- 10300^{x} \ln (100))$ .

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Étape 8.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $302.2$ .

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - 302.2 (10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Étape 8.2.1.2.2

Remettez dans l’ordre $\ln (100)$ et $- 302.2$ .

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - 302.2 \cdot \ln (100) \cdot 10300^{x}}{100^{2 x}}$

Étape 8.2.1.2.3

Simplifiez $- 302.2 \cdot \ln (100)$ en déplaçant $302.2$ dans le logarithme.

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - \ln (100^{302.2}) \cdot 10300^{x}}{100^{2 x}}$

Étape 8.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - \ln (100^{302.2}) \cdot 10300^{x}$ .

$\frac{10300^{x} \ln (103^{302.2}) - 10300^{x} \ln (100^{302.2})}{100^{2 x}}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Factorisez $10300^{x}$ à partir de $10300^{x} \ln (103^{302.2}) - 10300^{x} \ln (100^{302.2})$ .

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Étape 8.3.1.1

Factorisez $10300^{x}$ à partir de $10300^{x} \ln (103^{302.2})$ .

$\frac{10300^{x} (\ln (103^{302.2})) - 10300^{x} \ln (100^{302.2})}{100^{2 x}}$

Étape 8.3.1.2

Factorisez $10300^{x}$ à partir de $- 10300^{x} \ln (100^{302.2})$ .

$\frac{10300^{x} (\ln (103^{302.2})) + 10300^{x} (- \ln (100^{302.2}))}{100^{2 x}}$

Étape 8.3.1.3

Factorisez $10300^{x}$ à partir de $10300^{x} (\ln (103^{302.2})) + 10300^{x} (- \ln (100^{302.2}))$ .

$\frac{10300^{x} (\ln (103^{302.2}) - \ln (100^{302.2}))}{100^{2 x}}$

Étape 8.3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{10300^{x} \ln (\frac{103^{302.2}}{100^{302.2}})}{100^{2 x}}$