Calcul infinitésimal Exemples

$\int 5 {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

Étape 2

Laissez $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ . Alors $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ , donc $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 - \cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 - \cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (x)$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (x)$ .

$0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.1.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Étape 2.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$0 + 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.1.4

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Étape 2.1.4.1

Additionnez $0$ et $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.1.4.2

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Étape 2.1.4.3

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Étape 2.1.4.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x)$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$5 \int {u_{2}}^{- 6} d u_{2}$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- 6}$ par rapport à $u_{2}$ est $- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}$ .

$5 (- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5} + C)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez

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Étape 4.1.1

Associez ${u_{2}}^{- 5}$ et $\frac{1}{5}$ .

$5 (- \frac{{u_{2}}^{- 5}}{5} + C)$

Étape 4.1.2

Placez ${u_{2}}^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C)$

Étape 4.2

Simplifiez

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}) + C$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Étape 4.3.2

Associez $- 5$ et $\frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}$ .

$\frac{- 5}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $5$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Étape 4.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 ({u_{2}}^{5})} + C$

Étape 4.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Étape 4.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{{u_{2}}^{5}} + C$

Étape 4.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{{u_{2}}^{5}} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 - \cos^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{{(3 - \cos^{2} (x))}^{5}} + C$