Calcul infinitésimal Exemples

$\int x (3 x + 2) (x - 3) d x$

Étape 1

Laissez $u = x - 3$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (u + 3) (3 (u + 3) + 2) u d u$

$\int (u + 3) (3 (u + 3) + 2) u d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u + 3) (3 u + 3 \cdot 3 + 2) u d u$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u (3 u + 3 \cdot 3 + 2) + 3 (3 u + 3 \cdot 3 + 2)) u d u$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u (3 u + 3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u + 3 \cdot 3 + 2)) u d u$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u + 3 \cdot 3 + 2)) u d u$

Étape 2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u + 3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Étape 2.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Étape 2.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2) u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Étape 2.8

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3)) u + u \cdot 2 u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Étape 2.9

Appliquez la propriété distributive.

$\int u (3 u) u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Étape 2.10

Appliquez la propriété distributive.

$\int u (3 u) u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3)) u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.11

Appliquez la propriété distributive.

$\int u (3 u) u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.12

Remettez dans l’ordre $u$ et $3$ .

$\int 3 \cdot u \cdot u \cdot u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.13

Déplacez $u$ .

$\int 3 \cdot u \cdot u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + u \cdot 2 u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.14

Remettez dans l’ordre $u$ et $2$ .

$\int 3 \cdot u \cdot u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 \cdot u \cdot u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.15

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int 3 (u^{1} u) u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.16

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int 3 (u^{1} u^{1}) u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 u^{1 + 1} u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 3 u^{2} u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.19

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int 3 (u^{2} u^{1}) + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 u^{2 + 1} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.21

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int 3 u^{3} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.22

Multipliez $3$ par $3$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.23

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 (u^{1} u) + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.24

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 (u^{1} u^{1}) + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.25

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 u^{3} + 9 u^{1 + 1} + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.26

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.27

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 (u^{1} u) + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.28

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.29

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 u^{1 + 1} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.30

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 u^{2} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.31

Additionnez $9 u^{2}$ et $2 u^{2}$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.32

Multipliez $3$ par $3$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.33

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 (u^{1} u) + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.34

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.35

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{1 + 1} + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.36

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.37

Multipliez $3$ par $3$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 9 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.38

Multipliez $9$ par $3$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 27 u + 3 \cdot 2 u d u$

Étape 2.39

Multipliez $3$ par $2$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 27 u + 6 u d u$

Étape 2.40

Additionnez $27 u$ et $6 u$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 33 u d u$

Étape 2.41

Additionnez $11 u^{2}$ et $9 u^{2}$ .

$\int 3 u^{3} + 20 u^{2} + 33 u d u$

$\int 3 u^{3} + 20 u^{2} + 33 u d u$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 u^{3} d u + \int 20 u^{2} d u + \int 33 u d u$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int u^{3} d u + \int 20 u^{2} d u + \int 33 u d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 20 u^{2} d u + \int 33 u d u$

Étape 6

Comme $20$ est constant par rapport à $u$ , placez $20$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 \int u^{2} d u + \int 33 u d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 33 u d u$

Étape 8

Comme $33$ est constant par rapport à $u$ , placez $33$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 \int u d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + 33 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{2}$ .

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + 33 \frac{u^{2}}{2} + C$

Étape 10.2.2

Associez $33$ et $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + \frac{33 u^{2}}{2} + C$

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + \frac{33 u^{2}}{2} + C$

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + \frac{33 u^{2}}{2} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{4}}{4} + \frac{20 {(x - 3)}^{3}}{3} + \frac{33 {(x - 3)}^{2}}{2} + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{4} {(x - 3)}^{4} + \frac{20}{3} {(x - 3)}^{3} + \frac{33}{2} {(x - 3)}^{2} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$