Calcul infinitésimal Exemples

$e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$

Étape 1

Écrivez $e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.2.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f' (x) = - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.2.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{- x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.3.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.3.9

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.3.10

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

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Étape 2.1.4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.1.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $- x$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $- x$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)$

Étape 2.1.4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)$

Étape 2.1.4.7

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Étape 2.1.4.8

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Étape 2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Étape 2.1.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = - e^{- x} - 2 (x (e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Étape 2.1.5.2.2

Additionnez $- e^{- x}$ et $2 e^{- x}$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- x} + e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Étape 2.1.5.2.3

Additionnez $- 2 x e^{- x}$ et $e^{- x} (2 x)$ .

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Étape 2.1.5.2.3.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) - 2 x e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Étape 2.1.5.2.3.2

Additionnez $- 2 x e^{- x}$ et $2 x e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + 0$

Étape 2.1.5.2.4

Additionnez $e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$ et $0$ .

$f' (x) = e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$

Étape 2.1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + e^{- x}$

Étape 2.1.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x^{2} + e^{- x}$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + e^{- x}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} e^{- x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 2.2.2.2

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 2.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 2.2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 2.2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 2.2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 2.2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 2.2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 2.2.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 2.2.2.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 2.2.2.9

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 2.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 2.2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 2.2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 2.2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Étape 2.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 2.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 2.2.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 2.2.3.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Étape 2.2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.2.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Étape 2.2.4.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Étape 2.2.4.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$

Étape 2.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$

Étape 2.2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$

Étape 3.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $x^{2} e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- 2 x e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x) - e^{- x} = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x) + e^{- x} \cdot - 1 = 0$

Étape 3.2.4

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x)$ .

$e^{- x} (x^{2} - 2 x) + e^{- x} \cdot - 1 = 0$

Étape 3.2.5

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} (x^{2} - 2 x) + e^{- x} \cdot - 1$ .

$e^{- x} (x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- x} = 0$

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Étape 3.4

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ .

$e^{- x} = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $e^{- x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 3.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 3.5

Définissez $x^{2} - 2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x^{2} - 2 x - 1$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez

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Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 3.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 3.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 3.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.5.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 3.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

Étape 3.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 3.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.5.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 3.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

Étape 3.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- x} (x^{2} - 2 x - 1) = 0$ vraie.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $1 + \sqrt{2}$ dans $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1 + \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- (1 + \sqrt{2})} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 \cdot 1 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.8

Réécrivez ${(1 + \sqrt{2})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.9

Développez $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.2.1.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.10.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10.1.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10.1.3

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{4}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10.1.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10.3

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.1.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.1.13

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $e^{- 1 - \sqrt{2}}$ et $2 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $3 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ et $3 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.2.3

Additionnez $2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$ et $2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $1 + \sqrt{2}$ dans $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ est $(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$

Étape 4.3

Remplacez $1 - \sqrt{2}$ dans $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1 - \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- (1 - \sqrt{2})} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + 1 \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.3.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 \cdot 1 + 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 + 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.9

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + 1 \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.9.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.11

Réécrivez ${(1 - \sqrt{2})}^{2}$ comme $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.12

Développez $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.2.1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 (1 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.2.1.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.13.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.2

Multipliez $- \sqrt{2}$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.4

Multipliez $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 4.3.2.1.13.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.4.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.4.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.3.2.1.13.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.13.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.3

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.14

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.1.15

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.1.16

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + 1 \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.1.16.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.1.17

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.3.2.2.1

Additionnez $e^{- 1 + \sqrt{2}}$ et $2 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.2.2

Additionnez $3 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ et $3 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.2.3

Soustrayez $2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$ de $- 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $- 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$- 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $1 - \sqrt{2}$ dans $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ est $(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}), (1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 1 - \sqrt{2}) \cup (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.51421356$ dans l’expression.

$f'' (- 0.51421356) = {(- 0.51421356)}^{2} e^{- (- 0.51421356)} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.51421356$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.26441558 e^{- (- 0.51421356)} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.26441558 e^{0.51421356} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $0.26441558$ par $e^{0.51421356}$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.02842712 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.02842712 \cdot e^{0.51421356} - e^{- (- 0.51421356)}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $1.02842712$ par $e^{0.51421356}$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.71986213 - e^{- (- 0.51421356)}$

Étape 6.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.71986213 - e^{0.51421356}$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $0.44218821$ et $1.71986213$ .

$f'' (- 0.51421356) = 2.16205035 - e^{0.51421356}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $e^{0.51421356}$ de $2.16205035$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.48972754$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $0.48972754$ .

$0.48972754$

Étape 6.3

Sur $- 0.51421356$ , la dérivée seconde est $0.48972754$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ .

Augmente sur $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f'' (1) = {(1)}^{2} e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$f'' (1) = 1 e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $e^{- (1)}$ par $1$ .

$f'' (1) = e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (1) = e^{- 1} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot e^{- 1} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot \frac{1}{e^{1}} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.8

Associez $- 2$ et $\frac{1}{e^{1}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} + \frac{- 2}{e^{1}} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{e^{1}} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.10

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{{2.71828182}^{1}} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.11

Élevez $2.71828182$ à la puissance $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{2.71828182} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.12

Divisez $2$ par $2.71828182$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 1 \cdot 0.73575888 - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.13

Multipliez $- 1$ par $0.73575888$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.14

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - e^{- 1}$

Étape 7.2.1.15

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - \frac{1}{e^{1}}$

Étape 7.2.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (1) = - 0.73575888 + \frac{1 - 1}{e^{1}}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f'' (1) = - 0.73575888 + \frac{0}{e^{1}}$

Étape 7.2.2.2.2

Divisez $0$ par $e^{1}$ .

$f'' (1) = - 0.73575888 + 0$

Étape 7.2.2.2.3

Additionnez $- 0.73575888$ et $0$ .

$f'' (1) = - 0.73575888$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 0.73575888$ .

$- 0.73575888$

Étape 7.3

Sur $1$ , la dérivée seconde est $- 0.73575888$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$

Diminue sur $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2.51421356$ dans l’expression.

$f'' (2.51421356) = {(2.51421356)}^{2} e^{- (2.51421356)} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $2.51421356$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 e^{- (2.51421356)} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 e^{- 2.51421356} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 (\frac{1}{e^{2.51421356}}) - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.4

Associez $6.32126983$ et $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ .

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{e^{2.51421356}} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.5

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{{2.71828182}^{2.51421356}} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.6

Élevez $2.71828182$ à la puissance $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{12.35688703} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.7

Divisez $6.32126983$ par $12.35688703$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.8

Multipliez $- 2$ par $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot e^{- 2.51421356} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.10

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot \frac{1}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.11

Associez $- 5.02842712$ et $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 + \frac{- 5.02842712}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.13

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{{2.71828182}^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.14

Élevez $2.71828182$ à la puissance $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{12.35688703} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.15

Divisez $5.02842712$ par $12.35688703$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 1 \cdot 0.40693316 - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.16

Multipliez $- 1$ par $0.40693316$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.17

Multipliez $- 1$ par $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - e^{- 2.51421356}$

Étape 8.2.1.18

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - \frac{1}{e^{2.51421356}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Soustrayez $0.40693316$ de $0.51155843$ .

$f'' (2.51421356) = 0.10462527 - \frac{1}{e^{2.51421356}}$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ de $0.10462527$ .

$f'' (2.51421356) = 0.02369874$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $0.02369874$ .

$0.02369874$

Étape 8.3

Sur $2.51421356$ , la dérivée seconde est $0.02369874$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}), (1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$ .

$(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}), (1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$

Étape 10