Calcul infinitésimal Exemples

$y^{x y}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = y$ et $g = x y$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y \cdot y^{x y - 1}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Étape 2

Multipliez $y$ par $y^{x y - 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1

Déplacez $y^{x y - 1}$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x (y^{x y - 1} y)) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Étape 2.2

Multipliez $y^{x y - 1}$ par $y$ .

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Étape 2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x (y^{x y - 1} y^{1})) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Étape 2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y - 1 + 1}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Étape 2.3

Associez les termes opposés dans $x y - 1 + 1$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y + 0}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Étape 2.3.2

Additionnez $x y$ et $0$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Étape 3

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 (x y^{x y}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Multipliez $x$ par $0$ .

$0 y^{x y} + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Étape 4.2

Multipliez $0$ par $y^{x y}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$ .

$\frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Étape 5

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] (y^{x y} \ln (y))$

Étape 6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{x y} y^{1} \frac{d}{d x} [x] \ln (y)$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{x y + 1} \frac{d}{d x} [x] \ln (y)$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y^{x y + 1} \cdot 1 \ln (y)$

Étape 9

Multipliez $y^{x y + 1}$ par $1$ .

$y^{x y + 1} \ln (y)$