Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{2}{5 - 2 x} d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{5 - 2 x} d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 6

Laissez $u = 5 - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Laissez $u = 5 - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Différenciez $5 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 2 x]$

Étape 6.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 6.1.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 6.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$0 - 2$

Étape 6.1.4

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 7.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 11.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 11.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 11.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 11.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 13

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- (\ln (| u |) + C) + 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 14

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 15

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 16

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 16.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 16.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

Étape 17

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

Étape 18

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Simplifiez

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) + 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Étape 18.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) - 3 \frac{1}{x} + C$

Étape 18.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x}$ .

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) + \frac{- 3}{x} + C$

Étape 18.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Étape 19

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 - 2 x$ .

$- \ln (| 5 - 2 x |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Étape 20

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| 5 - 2 x |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$