Calcul infinitésimal Exemples

$e^{- 3 x} - 4 x + 50$

Étape 1

Écrivez $e^{- 3 x} - 4 x + 50$ comme une fonction.

$f (x) = e^{- 3 x} - 4 x + 50$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int e^{- 3 x} - 4 x + 50 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int e^{- 3 x} d x + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Étape 5

Laissez $u = - 3 x$ . Alors $d u = - 3 d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = - 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 5.1.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Étape 6.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{3} d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u) + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Étape 10

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 \int x d x + \int 50 d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 50 d x$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 50 x + C$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 50 x + C$

Étape 13.2

Simplifiez

$- \frac{e^{u}}{3} - 2 x^{2} + 50 x + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 3 x$ .

$- \frac{e^{- 3 x}}{3} - 2 x^{2} + 50 x + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{3} e^{- 3 x} - 2 x^{2} + 50 x + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = e^{- 3 x} - 4 x + 50$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} e^{- 3 x} - 2 x^{2} + 50 x + C$