Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ et $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $- 20 x^{3} + 24 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + 0$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ et $0$ .

$f' (x) = - 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$

Étape 5.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$- 5 u^{2} + 12 u - 2 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 5.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.4

Remplacez les valeurs $a = - 5$ , $b = 12$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 5 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ .

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Étape 5.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.5.1.2.2

Multipliez $20$ par $- 2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.5.1.3

Soustrayez $40$ de $144$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.5.1.4

Réécrivez $104$ comme $2^{2} \cdot 26$ .

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Étape 5.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $104$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.5.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

Étape 5.5.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ .

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Étape 5.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.6.1.2.2

Multipliez $20$ par $- 2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.6.1.3

Soustrayez $40$ de $144$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.6.1.4

Réécrivez $104$ comme $2^{2} \cdot 26$ .

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Étape 5.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $104$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.6.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

Étape 5.6.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

Étape 5.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = \frac{6 + \sqrt{26}}{5}$

Étape 5.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ .

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Étape 5.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.7.1.2.2

Multipliez $20$ par $- 2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.7.1.3

Soustrayez $40$ de $144$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.7.1.4

Réécrivez $104$ comme $2^{2} \cdot 26$ .

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Étape 5.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $104$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.7.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

Étape 5.7.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

Étape 5.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = \frac{6 - \sqrt{26}}{5}$

Étape 5.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{6 + \sqrt{26}}{5}, \frac{6 - \sqrt{26}}{5}$

Étape 5.9

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 2.2198039$

${(x^{2})}^{1} = 0.18019609$

Étape 5.10

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 2.2198039$

Étape 5.11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.11.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2.2198039}$

Étape 5.11.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.11.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2.2198039}$

Étape 5.11.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2.2198039}$

Étape 5.11.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}$

Étape 5.12

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 0.18019609$

Étape 5.13

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.13.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 0.18019609$

Étape 5.13.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0.18019609}$

Étape 5.13.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.13.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{0.18019609}$

Étape 5.13.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{0.18019609}$

Étape 5.13.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

Étape 5.14

La solution à $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$ est $x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$ .

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{2.2198039}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 20 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} + 24 (\sqrt{2.2198039})$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Réécrivez ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ comme $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ .

$- 20 \sqrt{{2.2198039}^{3}} + 24 (\sqrt{2.2198039})$

Étape 9.2

Élevez $2.2198039$ à la puissance $3$ .

$- 20 \sqrt{10.93814891} + 24 \sqrt{2.2198039}$

Étape 10

$x = \sqrt{2.2198039}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{2.2198039}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{2.2198039}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{2.2198039}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{2.2198039}) = - {(\sqrt{2.2198039})}^{5} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ comme $\sqrt{{2.2198039}^{5}}$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{{2.2198039}^{5}} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Étape 11.2.1.2

Élevez $2.2198039$ à la puissance $5$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Étape 11.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ comme $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{{2.2198039}^{3}} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Étape 11.2.1.4

Élevez $2.2198039$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Étape 11.2.2

La réponse finale est $- \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$ .

$y = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{2.2198039}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 20 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Étape 13

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2.2198039}$ .

$- 20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2.2198039}}^{3}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Étape 13.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 20 (- {\sqrt{2.2198039}}^{3}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Étape 13.3

Réécrivez ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ comme $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ .

$- 20 (- \sqrt{{2.2198039}^{3}}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Étape 13.4

Élevez $2.2198039$ à la puissance $3$ .

$- 20 (- \sqrt{10.93814891}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Étape 13.5

Multipliez $- 1$ par $- 20$ .

$20 \sqrt{10.93814891} + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Étape 13.6

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$20 \sqrt{10.93814891} - 24 \sqrt{2.2198039}$

Étape 14

$x = - \sqrt{2.2198039}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{2.2198039}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{2.2198039}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{2.2198039}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{2.2198039}) = - {(- \sqrt{2.2198039})}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2.2198039}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = - ({(- 1)}^{5} {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{5}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Étape 15.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{5}$ par $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Étape 15.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5 + 1} {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Étape 15.2.1.2.3

Additionnez $5$ et $1$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{6} {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Étape 15.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = 1 {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Étape 15.2.1.4

Multipliez ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Étape 15.2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ comme $\sqrt{{2.2198039}^{5}}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{{2.2198039}^{5}} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Étape 15.2.1.6

Élevez $2.2198039$ à la puissance $5$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Étape 15.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2.2198039}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2.2198039}}^{3}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Étape 15.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- {\sqrt{2.2198039}}^{3}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Étape 15.2.1.9

Réécrivez ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ comme $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- \sqrt{{2.2198039}^{3}}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Étape 15.2.1.10

Élevez $2.2198039$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- \sqrt{10.93814891}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Étape 15.2.1.11

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Étape 15.2.1.12

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Étape 15.2.2

La réponse finale est $\sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$ .

$y = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{0.18019609}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 20 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} + 24 (\sqrt{0.18019609})$

Étape 17

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Réécrivez ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ comme $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ .

$- 20 \sqrt{{0.18019609}^{3}} + 24 (\sqrt{0.18019609})$

Étape 17.2

Élevez $0.18019609$ à la puissance $3$ .

$- 20 \sqrt{0.00585108} + 24 \sqrt{0.18019609}$

Étape 18

$x = \sqrt{0.18019609}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{0.18019609}$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{0.18019609}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{0.18019609}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{0.18019609}) = - {(\sqrt{0.18019609})}^{5} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ comme $\sqrt{{0.18019609}^{5}}$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{{0.18019609}^{5}} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Étape 19.2.1.2

Élevez $0.18019609$ à la puissance $5$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Étape 19.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ comme $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{{0.18019609}^{3}} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Étape 19.2.1.4

Élevez $0.18019609$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Étape 19.2.2

La réponse finale est $- \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$ .

$y = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Étape 20

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{0.18019609}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 20 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Étape 21

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{0.18019609}$ .

$- 20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.18019609}}^{3}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Étape 21.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 20 (- {\sqrt{0.18019609}}^{3}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Étape 21.3

Réécrivez ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ comme $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ .

$- 20 (- \sqrt{{0.18019609}^{3}}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Étape 21.4

Élevez $0.18019609$ à la puissance $3$ .

$- 20 (- \sqrt{0.00585108}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Étape 21.5

Multipliez $- 1$ par $- 20$ .

$20 \sqrt{0.00585108} + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Étape 21.6

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$20 \sqrt{0.00585108} - 24 \sqrt{0.18019609}$

Étape 22

$x = - \sqrt{0.18019609}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{0.18019609}$ est un maximum local

Étape 23

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{0.18019609}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{0.18019609}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{0.18019609}) = - {(- \sqrt{0.18019609})}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Étape 23.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{0.18019609}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = - ({(- 1)}^{5} {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Étape 23.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{5}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Étape 23.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{5}$ par $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Étape 23.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5 + 1} {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Étape 23.2.1.2.3

Additionnez $5$ et $1$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{6} {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Étape 23.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = 1 {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Étape 23.2.1.4

Multipliez ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Étape 23.2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ comme $\sqrt{{0.18019609}^{5}}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{{0.18019609}^{5}} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Étape 23.2.1.6

Élevez $0.18019609$ à la puissance $5$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Étape 23.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{0.18019609}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.18019609}}^{3}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Étape 23.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- {\sqrt{0.18019609}}^{3}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Étape 23.2.1.9

Réécrivez ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ comme $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- \sqrt{{0.18019609}^{3}}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Étape 23.2.1.10

Élevez $0.18019609$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- \sqrt{0.00585108}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Étape 23.2.1.11

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Étape 23.2.1.12

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Étape 23.2.2

La réponse finale est $\sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$ .

$y = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Étape 24

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ .

$(\sqrt{2.2198039}, - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2)$ est un maximum local

$(- \sqrt{2.2198039}, \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2)$ est un minimum local

$(\sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2)$ est un minimum local

$(- \sqrt{0.18019609}, \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2)$ est un maximum local

Étape 25