Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$

Étape 1

Écrivez $\frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x) d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{2}{\sqrt{x + 3}} d x + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{x + 3}} d x + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Étape 6

Laissez $u_{1} = x + 3$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Laissez $u_{1} = x + 3$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Différenciez $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 6.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Étape 7

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Étape 7.2

Retirez ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Étape 7.3

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Étape 7.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$2 \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Étape 7.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \int \sin^{2} (2 x) d x$

Étape 10

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \int \sin^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 11

Associez $\sin^{2} (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{\sin^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Étape 13

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (u_{2})$ en $\frac{1 - \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2}$

Étape 14

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Étape 15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Étape 15.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Étape 16

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int - \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Étape 17

Appliquez la règle de la constante.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int - \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Étape 18

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Étape 19

Laissez $u_{3} = 2 u_{2}$ . Alors $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Laissez $u_{3} = 2 u_{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1.1

Différenciez $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Étape 19.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $2 u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Étape 19.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 19.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 19.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 20

Associez $\cos (u_{3})$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Étape 21

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}))$

Étape 22

L’intégrale de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sin (u_{3})$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C))$

Étape 23

Simplifiez

$4 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Étape 24

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 3$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Étape 24.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Étape 24.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 u_{2}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{2})) + C$

Étape 24.4

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

Étape 25

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

Étape 25.1.2

Associez $\sin (4 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Étape 25.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Étape 25.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{4} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Étape 25.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 (2)} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Étape 25.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 (2)} (2 (x)) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Étape 25.3.4

Annulez le facteur commun.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Étape 25.3.5

Réécrivez l’expression.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2} x - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Étape 25.4

Associez $\frac{- 1}{2}$ et $x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Étape 25.5

Multipliez $- \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Étape 25.5.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Étape 25.5.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Étape 25.5.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} + C$

Étape 25.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} + C$

Étape 26

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) + C$

Étape 27

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$ .

$F (x) =$ $4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) + C$