Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = x^{4} - 3 x^{2} + x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 3 x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} - 6 x + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 6 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$h'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$h'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$h'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$h'' (x) = 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$h'' (x) = 12 x^{2} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$h'' (x) = 12 x^{2} - 6 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$h'' (x) = 12 x^{2} - 6 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $12 x^{2} - 6$ et $0$ .

$h'' (x) = 12 x^{2} - 6$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} - 6 x + 1 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 3 x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x + 1$

Étape 4.2

La dérivée première de $h (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 6 x + 1$ .

$4 x^{3} - 6 x + 1$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 6 x + 1 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 1 = 0$

Étape 5.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 1.30083956, 0.16993844, 1.13090112$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 1.30083956, 0.16993844, 1.13090112$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1.30083956$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(- 1.30083956)}^{2} - 6$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 1.30083956$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 1.69218357 - 6$

Étape 9.1.2

Multipliez $12$ par $1.69218357$ .

$20.30620291 - 6$

Étape 9.2

Soustrayez $6$ de $20.30620291$ .

$14.30620291$

Étape 10

$x = - 1.30083956$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1.30083956$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 1.30083956$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.30083956$ dans l’expression.

$h (- 1.30083956) = {(- 1.30083956)}^{4} - 3 {(- 1.30083956)}^{2} - 1.30083956$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Supprimez les parenthèses.

$h (- 1.30083956) = {(- 1.30083956)}^{4} - 3 {(- 1.30083956)}^{2} - 1.30083956$

Étape 11.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1

Élevez $- 1.30083956$ à la puissance $4$ .

$h (- 1.30083956) = 2.86348525 - 3 {(- 1.30083956)}^{2} - 1.30083956$

Étape 11.2.2.2

Élevez $- 1.30083956$ à la puissance $2$ .

$h (- 1.30083956) = 2.86348525 - 3 \cdot 1.69218357 - 1.30083956$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $- 3$ par $1.69218357$ .

$h (- 1.30083956) = 2.86348525 - 5.07655072 - 1.30083956$

Étape 11.2.3

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 11.2.3.1

Soustrayez $5.07655072$ de $2.86348525$ .

$h (- 1.30083956) = - 2.21306547 - 1.30083956$

Étape 11.2.3.2

Soustrayez $1.30083956$ de $- 2.21306547$ .

$h (- 1.30083956) = - 3.51390503$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $- 3.51390503$ .

$y = - 3.51390503$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.16993844$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(0.16993844)}^{2} - 6$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $0.16993844$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 0.02887907 - 6$

Étape 13.1.2

Multipliez $12$ par $0.02887907$ .

$0.34654889 - 6$

Étape 13.2

Soustrayez $6$ de $0.34654889$ .

$- 5.6534511$

Étape 14

$x = 0.16993844$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.16993844$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 0.16993844$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $0.16993844$ dans l’expression.

$h (0.16993844) = {(0.16993844)}^{4} - 3 {(0.16993844)}^{2} + 0.16993844$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Supprimez les parenthèses.

$h (0.16993844) = {(0.16993844)}^{4} - 3 {(0.16993844)}^{2} + 0.16993844$

Étape 15.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.2.1

Élevez $0.16993844$ à la puissance $4$ .

$h (0.16993844) = 0.000834 - 3 {(0.16993844)}^{2} + 0.16993844$

Étape 15.2.2.2

Élevez $0.16993844$ à la puissance $2$ .

$h (0.16993844) = 0.000834 - 3 \cdot 0.02887907 + 0.16993844$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $- 3$ par $0.02887907$ .

$h (0.16993844) = 0.000834 - 0.08663722 + 0.16993844$

Étape 15.2.3

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.3.1

Soustrayez $0.08663722$ de $0.000834$ .

$h (0.16993844) = - 0.08580322 + 0.16993844$

Étape 15.2.3.2

Additionnez $- 0.08580322$ et $0.16993844$ .

$h (0.16993844) = 0.08413522$

Étape 15.2.4

La réponse finale est $0.08413522$ .

$y = 0.08413522$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1.13090112$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(1.13090112)}^{2} - 6$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Élevez $1.13090112$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 1.27893734 - 6$

Étape 17.1.2

Multipliez $12$ par $1.27893734$ .

$15.34724819 - 6$

Étape 17.2

Soustrayez $6$ de $15.34724819$ .

$9.34724819$

Étape 18

$x = 1.13090112$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1.13090112$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = 1.13090112$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $1.13090112$ dans l’expression.

$h (1.13090112) = {(1.13090112)}^{4} - 3 {(1.13090112)}^{2} + 1.13090112$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Supprimez les parenthèses.

$h (1.13090112) = {(1.13090112)}^{4} - 3 {(1.13090112)}^{2} + 1.13090112$

Étape 19.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.2.1

Élevez $1.13090112$ à la puissance $4$ .

$h (1.13090112) = 1.63568074 - 3 {(1.13090112)}^{2} + 1.13090112$

Étape 19.2.2.2

Élevez $1.13090112$ à la puissance $2$ .

$h (1.13090112) = 1.63568074 - 3 \cdot 1.27893734 + 1.13090112$

Étape 19.2.2.3

Multipliez $- 3$ par $1.27893734$ .

$h (1.13090112) = 1.63568074 - 3.83681204 + 1.13090112$

Étape 19.2.3

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 19.2.3.1

Soustrayez $3.83681204$ de $1.63568074$ .

$h (1.13090112) = - 2.2011313 + 1.13090112$

Étape 19.2.3.2

Additionnez $- 2.2011313$ et $1.13090112$ .

$h (1.13090112) = - 1.07023018$

Étape 19.2.4

La réponse finale est $- 1.07023018$ .

$y = - 1.07023018$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $h (x) = x^{4} - 3 x^{2} + x$ .

$(- 1.30083956, - 3.51390503)$ est un minimum local

$(0.16993844, 0.08413522)$ est un maximum local

$(1.13090112, - 1.07023018)$ est un minimum local

Étape 21