Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}} d x$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x + 3}} d x$

Étape 4

Laissez $u = x + 3$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Étape 5.2

Retirez $u^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$3 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$3 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Étape 7

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Étape 7.1

Réécrivez $3 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ comme $3 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$3 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2

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Étape 7.2.1

Associez $3$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$\frac{9}{2} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{2} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C$