Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[3]{x} (2 x - x^{2})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} (2 x - x^{2})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}] + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - (2 x)) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 10

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3

Associez des termes.

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Étape 11.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.2

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.2.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.2.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 11.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{1} x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{1 + \frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{3 + 1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.2.5

Additionnez $3$ et $1$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{4}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{4}{3}} + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.4

Associez $2$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + x \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.5

Associez $x$ et $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 \cdot x}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.7

Placez $x^{\frac{2}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.8

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.8.1

Déplacez $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{2}{3}} x)}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.8.2

Multipliez $x^{- \frac{2}{3}}$ par $x$ .

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Étape 11.3.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{2}{3}} x^{1})}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{2}{3} + 1}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.8.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{- 2 + 3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.8.5

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.9

Associez $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ et $x^{2}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.10

Placez $x^{\frac{2}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 11.3.11

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.11.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2 - \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 11.3.11.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 11.3.11.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 11.3.11.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{2 \cdot 3 - 2}{3}}}{3}$

Étape 11.3.11.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.11.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{6 - 2}{3}}}{3}$

Étape 11.3.11.5.2

Soustrayez $2$ de $6$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

Étape 11.3.12

Pour écrire $2 x^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

Étape 11.3.13

Associez $2 x^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

Étape 11.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

Étape 11.3.15

Multipliez $3$ par $2$ .

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{6 x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

Étape 11.3.16

Additionnez $6 x^{\frac{1}{3}}$ et $2 x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

Étape 11.3.17

Pour écrire $- 2 x^{\frac{4}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 11.3.18

Associez $- 2 x^{\frac{4}{3}}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 11.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3 - x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 11.3.20

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 11.3.21

Soustrayez $x^{\frac{4}{3}}$ de $- 6 x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{- 7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 11.3.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Étape 11.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$