Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 x^{3} - 4 x + 2 x^{6}}{5 x^{3} - 3 x^{2}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{7 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{2 x^{6}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{7 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{2 x^{6}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 2.1.1.2

Divisez $7$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{2 x^{6}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{x \cdot - 4}{x^{3}} + \frac{2 x^{6}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{2 x^{6}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{2 x^{6}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{- 4}{x^{2}} + \frac{2 x^{6}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + \frac{2 x^{6}}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun à $x^{6}$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $2 x^{6}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + \frac{x^{3} (2 x^{3})}{x^{3}}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + \frac{x^{3} (2 x^{3})}{x^{3} \cdot 1}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + \frac{x^{3} (2 x^{3})}{x^{3} \cdot 1}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + \frac{2 x^{3}}{1}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 2.1.4.2.4

Divisez $2 x^{3}$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + 2 x^{3}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + 2 x^{3}}{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + 2 x^{3}}{5 + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + 2 x^{3}}{5 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + 2 x^{3}}{5 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + 2 x^{3}}{5 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x}}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + 2 x^{3}}{5 + \frac{- 3}{x}}$

Étape 2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{4}{x^{2}} + 2 x^{3}}{5 - \frac{3}{x}}$

Étape 3

Lorsque $x$ approche de $- \infty$ , la fraction $\frac{4}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - 0 + 2 x^{3}}{5 - \frac{3}{x}}$

Étape 4

Lorsque $x$ approche de $- \infty$ , la fraction $\frac{3}{x}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 - 0 + 2 x^{3}}{5 - 0}$

Étape 5

Comme son numérateur n’a pas de borne lorsque son dénominateur approche d’un nombre constant, la fraction $\frac{7 - 0 + 2 x^{3}}{5 - 0}$ approche de l’infini négatif.

$- \infty$