Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Étape 1.1.4.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ par $3 x^{\frac{1}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ par $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.4.2.3

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$2 = - 6 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Étape 2.5.2.2.2

Divisez $x^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 6}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 6$ .

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Étape 2.5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 (1)}{- 6}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{- 3}$

Étape 2.5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{3}$

Étape 2.5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.4.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Étape 2.5.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Étape 2.5.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Étape 2.5.4.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.4.2.1

Simplifiez ${(- \frac{1}{3})}^{3}$ .

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Étape 2.5.4.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.5.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$x = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}$

Étape 2.5.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$x = {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Étape 2.5.4.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$x = - \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Étape 2.5.4.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = - \frac{1}{3^{3}}$

Étape 2.5.4.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$x = - \frac{1}{27}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} + 2$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} + 2$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.4

Simplifiez

$27 x = 0^{3}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x = 0$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $27 x = 0$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 x = 0$ par $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{1}{27}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1}{27}$ .

$\sqrt[3]{{(- \frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{27}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[3]{1 {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Étape 4.1.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{27}$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{1^{2}}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Étape 4.1.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt[3]{1 \frac{1}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Étape 4.1.2.1.5

Élevez $27$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[3]{1 (\frac{1}{729})} + 2 (- \frac{1}{27})$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $\frac{1}{729}$ par $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{1}{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Étape 4.1.2.1.7

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1}{729}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Étape 4.1.2.1.8

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Étape 4.1.2.1.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.1.9.1

Réécrivez $729$ comme $9^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{9^{3}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Étape 4.1.2.1.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{1}{9} + 2 (- \frac{1}{27})$

Étape 4.1.2.1.10

Multipliez $2 (- \frac{1}{27})$ .

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Étape 4.1.2.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{27})$

Étape 4.1.2.1.10.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{27}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{- 2}{27}$

Étape 4.1.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{9} - \frac{2}{27}$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $\frac{1}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{27}$

Étape 4.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $27$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{3}{27} - \frac{2}{27}$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 - 2}{27}$

Étape 4.1.2.5

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{27}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\sqrt[3]{{(0)}^{2}} + 2 (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\sqrt[3]{0} + 2 (0)$

Étape 4.2.2.1.2

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}} + 2 (0)$

Étape 4.2.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$0 + 2 (0)$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- \frac{1}{27}, \frac{1}{27}), (0, 0)$

Étape 5