Calcul infinitésimal Exemples

$- x y = y - 3 + 2 x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- x y) = \frac{d}{d x} (y - 3 + 2 x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$- (x y' + y)$

Étape 2.6

Appliquez la propriété distributive.

$- x y' - y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 3 + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' + 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y' + 0 + 2 \cdot 1$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$y' + 0 + 2$

Étape 3.5

Additionnez $y'$ et $0$ .

$y' + 2$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- x y' - y = y' + 2$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $y'$ des deux côtés de l’équation.

$- x y' - y - y' = 2$

Étape 5.2

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$- x y' - y' = 2 + y$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' - y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $- x y'$ .

$y' (- x) - y' = 2 + y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (- x) + y' \cdot - 1 = 2 + y$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- x - 1) = 2 + y$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (- x - 1) = 2 + y$ par $- x - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (- x - 1) = 2 + y$ par $- x - 1$ .

$\frac{y' (- x - 1)}{- x - 1} = \frac{2}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- x - 1$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- x - 1)}{- x - 1} = \frac{2}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 + y}{- x - 1}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{2 + y}{- (x) - 1}$

Étape 5.4.3.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 + y}{- (x) - 1 (1)}$

Étape 5.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 + y}{- (x + 1)}$

Étape 5.4.3.5

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.4.3.5.1

Réécrivez $- (x + 1)$ comme $- 1 (x + 1)$ .

$y' = \frac{2 + y}{- 1 (x + 1)}$

Étape 5.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 + y}{x + 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 + y}{x + 1}$