Calcul infinitésimal Exemples

lim x \to \frac{π}{3} - 5 tan (2 x) + cos (x)

$lim_{x \to \frac{π}{3}} - 5 \tan (2 x) + \cos (x)$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque

x

$x$ approche de

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ .

- lim x \to \frac{π}{3} 5 tan (2 x) + lim x \to \frac{π}{3} cos (x)

$- lim_{x \to \frac{π}{3}} 5 \tan (2 x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)$

Étape 2

Placez le terme

5

$5$ hors de la limite car il est constant par rapport à

x

$x$ .

- 5 lim x \to \frac{π}{3} tan (2 x) + lim x \to \frac{π}{3} cos (x)

$- 5 lim_{x \to \frac{π}{3}} \tan (2 x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

- 5 tan (lim x \to \frac{π}{3} 2 x) + lim x \to \frac{π}{3} cos (x)

$- 5 \tan (lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)$

Étape 4

Placez le terme

2

$2$ hors de la limite car il est constant par rapport à

x

$x$ .

- 5 tan (2 lim x \to \frac{π}{3} x) + lim x \to \frac{π}{3} cos (x)

$- 5 \tan (2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)$

Étape 5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

- 5 tan (2 lim x \to \frac{π}{3} x) + cos (lim x \to \frac{π}{3} x)

$- 5 \tan (2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ pour toutes les occurrences de

x

$x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de

x

$x$ en insérant

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ pour

x

$x$ .

- 5 tan (2 \frac{π}{3}) + cos (lim x \to \frac{π}{3} x)

$- 5 \tan (2 \frac{π}{3}) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)$

Étape 6.2

Évaluez la limite de

$x$ en insérant

$\frac{π}{3}$ pour

$x$ .

$- 5 \tan (2 \frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Associez

$2$ et

$\frac{π}{3}$ .

$- 5 \tan (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 7.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

$- 5 (- \tan (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 7.3

La valeur exacte de

$\tan (\frac{π}{3})$ est

$\sqrt{3}$ .

$- 5 (- \sqrt{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 7.4

Multipliez

$- 1$ par

$- 5$ .

$5 \sqrt{3} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 7.5

La valeur exacte de

$\cos (\frac{π}{3})$ est

$\frac{1}{2}$ .

$5 \sqrt{3} + \frac{1}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$5 \sqrt{3} + \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$9.16025403 \dots$