Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{4 (x^{2} - 1)}{x - 1}$

Étape 1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$4 \frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$4 \frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 2.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 2.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$4 \frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 \frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 2.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$4 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 \frac{0}{1 - 1}$

Étape 2.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$4 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$4 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$4 (\frac{0}{0})$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$4 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 2.3.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 2.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1 + 0}$

Étape 2.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1}$

Étape 2.4

Divisez $2 x$ par $1$ .

$4 lim_{x \to 1} 2 x$

Étape 3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 \cdot 2 lim_{x \to 1} x$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$4 \cdot 2 \cdot 1$

Étape 5

Multipliez $4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 \cdot 1$

Étape 5.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$8$