Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} - 6 x^{2} - 9 x - 10}{4 x^{4} - 3 x^{2} + 4 x + 7}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $5 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{4}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{2} x^{2}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{- 6}{x^{2}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- 9 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{x \cdot - 9}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{x \cdot - 9}{x \cdot x^{3}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{- 9}{x^{3}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x^{2}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x^{2}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{- 3}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.2.4.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 2.5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 6

Placez le terme $9$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 8

Placez le terme $10$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{4}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 10

Évaluez la limite.

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Étape 10.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 10.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 11

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 12

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 13

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Étape 14

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

Étape 15

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{4}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Étape 16

Simplifiez la réponse.

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Étape 16.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Étape 16.1.2

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Étape 16.1.3

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Étape 16.1.4

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0 + 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Étape 16.1.5

Additionnez $0 + 0 + 0$ et $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Étape 16.1.6

Additionnez $0 + 0$ et $0$ .

$\frac{0 + 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Étape 16.1.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Étape 16.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.2.1

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Étape 16.2.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 0 + 7 \cdot 0}$

Étape 16.2.3

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 0 + 0}$

Étape 16.2.4

Additionnez $4 + 0 + 0$ et $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 0}$

Étape 16.2.5

Additionnez $4 + 0$ et $0$ .

$\frac{0}{4 + 0}$

Étape 16.2.6

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{0}{4}$

Étape 16.3

Divisez $0$ par $4$ .

$0$