Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + 2 x - 1$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + 2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{12} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{12} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{12}$ .

$\frac{4}{12} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $\frac{4}{12}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{12} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 1.1.1.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3})}{12} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2} x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{3} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3.4

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{- 3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3.5

Associez $\frac{- 3}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.1.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2 + 0$

Étape 1.1.1.6.2

Additionnez $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- \frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3 x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.3.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.3.6

Associez $\frac{- 6}{2}$ et $x$ .

$x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.3.7

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 1.1.2.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.3.7.2.4

Divisez $- 3 x$ par $1$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 3 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} - 3 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$x^{2} - 3 x + 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.2.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} - 3 x + 2 + 0$

Étape 1.1.2.5.2

Additionnez $x^{2} - 3 x + 2$ et $0$ .

$f'' (x) = x^{2} - 3 x + 2$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - 3 x + 2$ .

$x^{2} - 3 x + 2$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 1.2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 2, 1$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 2$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 2$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$f'' (0) = 2$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, 1)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(1, 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1.5$ dans l’expression.

$f'' (1.5) = {(1.5)}^{2} - 3 \cdot 1.5 + 2$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $1.5$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.5) = 2.25 - 3 \cdot 1.5 + 2$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $1.5$ .

$f'' (1.5) = 2.25 - 4.5 + 2$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $4.5$ de $2.25$ .

$f'' (1.5) = - 2.25 + 2$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 2.25$ et $2$ .

$f'' (1.5) = - 0.25$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 0.25$ .

$- 0.25$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(1, 2)$ car $f'' (1.5)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(1, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = {(4)}^{2} - 3 \cdot 4 + 2$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = 16 - 3 \cdot 4 + 2$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f'' (4) = 16 - 12 + 2$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $12$ de $16$ .

$f'' (4) = 4 + 2$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $4$ et $2$ .

$f'' (4) = 6$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $6$ .

$6$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(2, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(1, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8