Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{2} + y^{2})}^{4} = 3 y^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{4}) = \frac{d}{d x} (3 y^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$4 {(x^{2} + y^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 {(x^{2} + y^{2})}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 {(x^{2} + y^{2})}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$4 {(x^{2} + y^{2})}^{3} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 {(x^{2} + y^{2})}^{3} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$4 {(x^{2} + y^{2})}^{3} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 {(x^{2} + y^{2})}^{3} (2 x + 2 y y')$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$9 y^{2} y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 {(x^{2} + y^{2})}^{3} (2 x + 2 y y') = 9 y^{2} y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $4 {(x^{2} + y^{2})}^{3} (2 x + 2 y y')$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 4 {(x^{2} + y^{2})}^{3} (2 x + 2 y y') = 9 y^{2} y'$

Étape 5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$4 {(x^{2} + y^{2})}^{3} (2 x + 2 y y') = 9 y^{2} y'$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 {(x^{2} + y^{2})}^{3} (2 x) + 4 {(x^{2} + y^{2})}^{3} (2 y y') = 9 y^{2} y'$

Étape 5.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \cdot 2 {(x^{2} + y^{2})}^{3} x + 4 {(x^{2} + y^{2})}^{3} (2 y y') = 9 y^{2} y'$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 \cdot 2 {(x^{2} + y^{2})}^{3} x + 8 {(x^{2} + y^{2})}^{3} (y y') = 9 y^{2} y'$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 {(x^{2} + y^{2})}^{3} x + 8 {(x^{2} + y^{2})}^{3} (y y') = 9 y^{2} y'$

Étape 5.1.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $8 {(x^{2} + y^{2})}^{3} x + 8 {(x^{2} + y^{2})}^{3} (y y')$ .

$8 x {(x^{2} + y^{2})}^{3} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} = 9 y^{2} y'$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $9 y^{2} y'$ des deux côtés de l’équation.

$8 x {(x^{2} + y^{2})}^{3} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$8 x ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(y^{2})}^{3}) + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x (x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(y^{2})}^{3}) + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$8 x (x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(y^{2})}^{3}) + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x (x^{6} + 3 x^{2 \cdot 2} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(y^{2})}^{3}) + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$8 x (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(y^{2})}^{3}) + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.2.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{2 \cdot 2} + {(y^{2})}^{3}) + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$8 x (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(y^{2})}^{3}) + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.2.4

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{3}$ .

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Étape 5.2.2.2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + y^{2 \cdot 3}) + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$8 x (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + y^{6}) + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 x \cdot x^{6} + 8 x (3 x^{4} y^{2}) + 8 x (3 x^{2} y^{4}) + 8 x y^{6} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.4

Simplifiez

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Étape 5.2.2.4.1

Multipliez $x$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.4.1.1

Déplacez $x^{6}$ .

$8 (x^{6} x) + 8 x (3 x^{4} y^{2}) + 8 x (3 x^{2} y^{4}) + 8 x y^{6} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.4.1.2

Multipliez $x^{6}$ par $x$ .

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Étape 5.2.2.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$8 (x^{6} x^{1}) + 8 x (3 x^{4} y^{2}) + 8 x (3 x^{2} y^{4}) + 8 x y^{6} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x^{6 + 1} + 8 x (3 x^{4} y^{2}) + 8 x (3 x^{2} y^{4}) + 8 x y^{6} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.4.1.3

Additionnez $6$ et $1$ .

$8 x^{7} + 8 x (3 x^{4} y^{2}) + 8 x (3 x^{2} y^{4}) + 8 x y^{6} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.4.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$8 x^{7} + 8 (x^{4} x) (3 y^{2}) + 8 x (3 x^{2} y^{4}) + 8 x y^{6} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.4.2.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 5.2.2.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$8 x^{7} + 8 (x^{4} x^{1}) (3 y^{2}) + 8 x (3 x^{2} y^{4}) + 8 x y^{6} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x^{7} + 8 x^{4 + 1} (3 y^{2}) + 8 x (3 x^{2} y^{4}) + 8 x y^{6} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.4.2.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$8 x^{7} + 8 x^{5} (3 y^{2}) + 8 x (3 x^{2} y^{4}) + 8 x y^{6} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.4.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.4.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$8 x^{7} + 8 x^{5} (3 y^{2}) + 8 (x^{2} x) (3 y^{4}) + 8 x y^{6} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.4.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.2.2.4.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$8 x^{7} + 8 x^{5} (3 y^{2}) + 8 (x^{2} x^{1}) (3 y^{4}) + 8 x y^{6} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.4.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x^{7} + 8 x^{5} (3 y^{2}) + 8 x^{2 + 1} (3 y^{4}) + 8 x y^{6} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.4.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$8 x^{7} + 8 x^{5} (3 y^{2}) + 8 x^{3} (3 y^{4}) + 8 x y^{6} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{7} + 8 \cdot 3 x^{5} y^{2} + 8 x^{3} (3 y^{4}) + 8 x y^{6} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.5.2

Multipliez $8$ par $3$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 8 x^{3} (3 y^{4}) + 8 x y^{6} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.5.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 8 \cdot 3 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.5.4

Multipliez $8$ par $3$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' {(x^{2} + y^{2})}^{3} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.6

Utilisez le théorème du binôme.

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(y^{2})}^{3}) - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.7.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 5.2.2.7.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' (x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(y^{2})}^{3}) - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.7.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' (x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(y^{2})}^{3}) - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.7.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' (x^{6} + 3 x^{2 \cdot 2} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(y^{2})}^{3}) - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.7.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(y^{2})}^{3}) - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.7.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.7.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{2 \cdot 2} + {(y^{2})}^{3}) - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.7.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(y^{2})}^{3}) - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.7.4

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{3}$ .

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Étape 5.2.2.7.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + y^{2 \cdot 3}) - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.7.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + y^{6}) - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.8

Appliquez la propriété distributive.

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 8 y y' (3 x^{4} y^{2}) + 8 y y' (3 x^{2} y^{4}) + 8 y y' y^{6} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.9

Simplifiez

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Étape 5.2.2.9.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.9.1.1

Déplacez $y^{2}$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 8 (y^{2} y) y' (3 x^{4}) + 8 y y' (3 x^{2} y^{4}) + 8 y y' y^{6} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.9.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 5.2.2.9.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 8 (y^{2} y^{1}) y' (3 x^{4}) + 8 y y' (3 x^{2} y^{4}) + 8 y y' y^{6} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.9.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 8 y^{2 + 1} y' (3 x^{4}) + 8 y y' (3 x^{2} y^{4}) + 8 y y' y^{6} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.9.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 8 y^{3} y' (3 x^{4}) + 8 y y' (3 x^{2} y^{4}) + 8 y y' y^{6} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.9.2

Multipliez $y$ par $y^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.9.2.1

Déplacez $y^{4}$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 8 y^{3} y' (3 x^{4}) + 8 (y^{4} y) y' (3 x^{2}) + 8 y y' y^{6} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.9.2.2

Multipliez $y^{4}$ par $y$ .

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Étape 5.2.2.9.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 8 y^{3} y' (3 x^{4}) + 8 (y^{4} y^{1}) y' (3 x^{2}) + 8 y y' y^{6} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.9.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 8 y^{3} y' (3 x^{4}) + 8 y^{4 + 1} y' (3 x^{2}) + 8 y y' y^{6} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.9.2.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 8 y^{3} y' (3 x^{4}) + 8 y^{5} y' (3 x^{2}) + 8 y y' y^{6} - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.9.3

Multipliez $y$ par $y^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.9.3.1

Déplacez $y^{6}$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 8 y^{3} y' (3 x^{4}) + 8 y^{5} y' (3 x^{2}) + 8 (y^{6} y) y' - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.9.3.2

Multipliez $y^{6}$ par $y$ .

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Étape 5.2.2.9.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 8 y^{3} y' (3 x^{4}) + 8 y^{5} y' (3 x^{2}) + 8 (y^{6} y^{1}) y' - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.9.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 8 y^{3} y' (3 x^{4}) + 8 y^{5} y' (3 x^{2}) + 8 y^{6 + 1} y' - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.9.3.3

Additionnez $6$ et $1$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 8 y^{3} y' (3 x^{4}) + 8 y^{5} y' (3 x^{2}) + 8 y^{7} y' - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.10.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 24 y^{3} y' x^{4} + 8 y^{5} y' (3 x^{2}) + 8 y^{7} y' - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2.2.10.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$8 x^{7} + 24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 24 y^{3} y' x^{4} + 24 y^{5} y' x^{2} + 8 y^{7} y' - 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $8 x^{7}$ des deux côtés de l’équation.

$24 x^{5} y^{2} + 24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 24 y^{3} y' x^{4} + 24 y^{5} y' x^{2} + 8 y^{7} y' - 9 y^{2} y' = - 8 x^{7}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $24 x^{5} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$24 x^{3} y^{4} + 8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 24 y^{3} y' x^{4} + 24 y^{5} y' x^{2} + 8 y^{7} y' - 9 y^{2} y' = - 8 x^{7} - 24 x^{5} y^{2}$

Étape 5.3.3

Soustrayez $24 x^{3} y^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$8 x y^{6} + 8 y y' x^{6} + 24 y^{3} y' x^{4} + 24 y^{5} y' x^{2} + 8 y^{7} y' - 9 y^{2} y' = - 8 x^{7} - 24 x^{5} y^{2} - 24 x^{3} y^{4}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $8 x y^{6}$ des deux côtés de l’équation.

$8 y y' x^{6} + 24 y^{3} y' x^{4} + 24 y^{5} y' x^{2} + 8 y^{7} y' - 9 y^{2} y' = - 8 x^{7} - 24 x^{5} y^{2} - 24 x^{3} y^{4} - 8 x y^{6}$

Étape 5.4

Factorisez $y y'$ à partir de $8 y y' x^{6} + 24 y^{3} y' x^{4} + 24 y^{5} y' x^{2} + 8 y^{7} y' - 9 y^{2} y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y y'$ à partir de $8 y y' x^{6}$ .

$y y' (8 x^{6}) + 24 y^{3} y' x^{4} + 24 y^{5} y' x^{2} + 8 y^{7} y' - 9 y^{2} y' = - 8 x^{7} - 24 x^{5} y^{2} - 24 x^{3} y^{4} - 8 x y^{6}$

Étape 5.4.2

Factorisez $y y'$ à partir de $24 y^{3} y' x^{4}$ .

$y y' (8 x^{6}) + y y' (24 y^{2} x^{4}) + 24 y^{5} y' x^{2} + 8 y^{7} y' - 9 y^{2} y' = - 8 x^{7} - 24 x^{5} y^{2} - 24 x^{3} y^{4} - 8 x y^{6}$

Étape 5.4.3

Factorisez $y y'$ à partir de $24 y^{5} y' x^{2}$ .

$y y' (8 x^{6}) + y y' (24 y^{2} x^{4}) + y y' (24 y^{4} x^{2}) + 8 y^{7} y' - 9 y^{2} y' = - 8 x^{7} - 24 x^{5} y^{2} - 24 x^{3} y^{4} - 8 x y^{6}$

Étape 5.4.4

Factorisez $y y'$ à partir de $8 y^{7} y'$ .

$y y' (8 x^{6}) + y y' (24 y^{2} x^{4}) + y y' (24 y^{4} x^{2}) + y y' (8 y^{6}) - 9 y^{2} y' = - 8 x^{7} - 24 x^{5} y^{2} - 24 x^{3} y^{4} - 8 x y^{6}$

Étape 5.4.5

Factorisez $y y'$ à partir de $- 9 y^{2} y'$ .

$y y' (8 x^{6}) + y y' (24 y^{2} x^{4}) + y y' (24 y^{4} x^{2}) + y y' (8 y^{6}) + y y' (- 9 y) = - 8 x^{7} - 24 x^{5} y^{2} - 24 x^{3} y^{4} - 8 x y^{6}$

Étape 5.4.6

Factorisez $y y'$ à partir de $y y' (8 x^{6}) + y y' (24 y^{2} x^{4})$ .

$y y' (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4}) + y y' (24 y^{4} x^{2}) + y y' (8 y^{6}) + y y' (- 9 y) = - 8 x^{7} - 24 x^{5} y^{2} - 24 x^{3} y^{4} - 8 x y^{6}$

Étape 5.4.7

Factorisez $y y'$ à partir de $y y' (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4}) + y y' (24 y^{4} x^{2})$ .

$y y' (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2}) + y y' (8 y^{6}) + y y' (- 9 y) = - 8 x^{7} - 24 x^{5} y^{2} - 24 x^{3} y^{4} - 8 x y^{6}$

Étape 5.4.8

Factorisez $y y'$ à partir de $y y' (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2}) + y y' (8 y^{6})$ .

$y y' (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6}) + y y' (- 9 y) = - 8 x^{7} - 24 x^{5} y^{2} - 24 x^{3} y^{4} - 8 x y^{6}$

Étape 5.4.9

Factorisez $y y'$ à partir de $y y' (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6}) + y y' (- 9 y)$ .

$y y' (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y) = - 8 x^{7} - 24 x^{5} y^{2} - 24 x^{3} y^{4} - 8 x y^{6}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y y' (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y) = - 8 x^{7} - 24 x^{5} y^{2} - 24 x^{3} y^{4} - 8 x y^{6}$ par $y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

$\frac{y y' (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} = \frac{- 8 x^{7}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 24 x^{5} y^{2}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 24 x^{3} y^{4}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 8 x y^{6}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} = \frac{- 8 x^{7}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 24 x^{5} y^{2}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 24 x^{3} y^{4}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 8 x y^{6}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 8 x^{7}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 24 x^{5} y^{2}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 24 x^{3} y^{4}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 8 x y^{6}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{(8) x^{7}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 24 x^{5} y^{2}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 24 x^{3} y^{4}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 8 x y^{6}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.5.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- 24 x^{5} y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 x^{7}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{y (- 24 x^{5} y)}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 24 x^{3} y^{4}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 8 x y^{6}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{8 x^{7}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 24 x^{5} y}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} + \frac{- 24 x^{3} y^{4}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 8 x y^{6}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{8 x^{7}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{(24) x^{5} y}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} + \frac{- 24 x^{3} y^{4}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 8 x y^{6}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.1.4

Annulez le facteur commun à $y^{4}$ et $y$ .

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Étape 5.5.3.1.4.1

Factorisez $y$ à partir de $- 24 x^{3} y^{4}$ .

$y' = - \frac{8 x^{7}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{5} y}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} + \frac{y (- 24 x^{3} y^{3})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} + \frac{- 8 x y^{6}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.3.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{8 x^{7}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{5} y}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} + \frac{- 24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} + \frac{- 8 x y^{6}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{8 x^{7}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{5} y}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} - \frac{(24) x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} + \frac{- 8 x y^{6}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.1.6

Annulez le facteur commun à $y^{6}$ et $y$ .

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Étape 5.5.3.1.6.1

Factorisez $y$ à partir de $- 8 x y^{6}$ .

$y' = - \frac{8 x^{7}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{5} y}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} - \frac{24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} + \frac{y (- 8 x y^{5})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.3.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{8 x^{7}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{5} y}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} - \frac{24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} + \frac{- 8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{8 x^{7}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{5} y}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} - \frac{24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.2

Pour écrire $- \frac{24 x^{5} y}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{8 x^{7}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{5} y}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} \cdot \frac{y}{y} - \frac{24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.3.3.1

Multipliez $\frac{24 x^{5} y}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$ par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{8 x^{7}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{5} y \cdot y}{(8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y) y} - \frac{24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y) y$ .

$y' = - \frac{8 x^{7}}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{5} y \cdot y}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 8 x^{7} - 24 x^{5} y \cdot y}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.3.5.1

Factorisez $8 x^{5}$ à partir de $- 8 x^{7} - 24 x^{5} y \cdot y$ .

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Étape 5.5.3.5.1.1

Factorisez $8 x^{5}$ à partir de $- 8 x^{7}$ .

$y' = \frac{8 x^{5} (- x^{2}) - 24 x^{5} y \cdot y}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.5.1.2

Factorisez $8 x^{5}$ à partir de $- 24 x^{5} y \cdot y$ .

$y' = \frac{8 x^{5} (- x^{2}) + 8 x^{5} (- 3 y \cdot y)}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.5.1.3

Factorisez $8 x^{5}$ à partir de $8 x^{5} (- x^{2}) + 8 x^{5} (- 3 y \cdot y)$ .

$y' = \frac{8 x^{5} (- x^{2} - 3 y \cdot y)}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.5.2

Associez les exposants.

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Étape 5.5.3.5.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{8 x^{5} (- x^{2} - 3 (y^{1} y))}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.5.2.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{8 x^{5} (- x^{2} - 3 (y^{1} y^{1}))}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{8 x^{5} (- x^{2} - 3 y^{1 + 1})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y' = \frac{8 x^{5} (- x^{2} - 3 y^{2})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.6

Pour écrire $- \frac{24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{8 x^{5} (- x^{2} - 3 y^{2})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} \cdot \frac{y}{y} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.3.7.1

Multipliez $\frac{24 x^{3} y^{3}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$ par $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{8 x^{5} (- x^{2} - 3 y^{2})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{3} y^{3} y}{(8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y) y} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.7.2

Réorganisez les facteurs de $(8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y) y$ .

$y' = \frac{8 x^{5} (- x^{2} - 3 y^{2})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{24 x^{3} y^{3} y}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{8 x^{5} (- x^{2} - 3 y^{2}) - 24 x^{3} y^{3} y}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.3.9.1

Factorisez $8 x^{3}$ à partir de $8 x^{5} (- x^{2} - 3 y^{2}) - 24 x^{3} y^{3} y$ .

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Étape 5.5.3.9.1.1

Factorisez $8 x^{3}$ à partir de $8 x^{5} (- x^{2} - 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{2} (- x^{2} - 3 y^{2})) - 24 x^{3} y^{3} y}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.9.1.2

Factorisez $8 x^{3}$ à partir de $- 24 x^{3} y^{3} y$ .

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{2} (- x^{2} - 3 y^{2})) + 8 x^{3} (- 3 y^{3} y)}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.9.1.3

Factorisez $8 x^{3}$ à partir de $8 x^{3} (x^{2} (- x^{2} - 3 y^{2})) + 8 x^{3} (- 3 y^{3} y)$ .

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{2} (- x^{2} - 3 y^{2}) - 3 y^{3} y)}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.9.2

Associez les exposants.

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Étape 5.5.3.9.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{2} (- x^{2} - 3 y^{2}) - 3 (y^{1} y^{3}))}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{2} (- x^{2} - 3 y^{2}) - 3 y^{1 + 3})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.9.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{2} (- x^{2} - 3 y^{2}) - 3 y^{4})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.9.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.9.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{2} (- x^{2}) + x^{2} (- 3 y^{2}) - 3 y^{4})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.9.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{8 x^{3} (- x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 y^{2}) - 3 y^{4})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.9.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{8 x^{3} (- x^{2} x^{2} - 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.9.3.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.9.3.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y' = \frac{8 x^{3} (- (x^{2} x^{2}) - 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.9.3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{8 x^{3} (- x^{2 + 2} - 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.9.3.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y' = \frac{8 x^{3} (- x^{4} - 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$

Étape 5.5.3.10

Pour écrire $- \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{8 x^{3} (- x^{4} - 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 5.5.3.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.3.11.1

Multipliez $\frac{8 x y^{5}}{8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y}$ par $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{8 x^{3} (- x^{4} - 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{8 x y^{5} y}{(8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y) y}$

Étape 5.5.3.11.2

Réorganisez les facteurs de $(8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y) y$ .

$y' = \frac{8 x^{3} (- x^{4} - 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)} - \frac{8 x y^{5} y}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{8 x^{3} (- x^{4} - 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{4}) - 8 x y^{5} y}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.3.13.1

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x^{3} (- x^{4} - 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{4}) - 8 x y^{5} y$ .

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Étape 5.5.3.13.1.1

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x^{3} (- x^{4} - 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})$ .

$y' = \frac{8 x (x^{2} (- x^{4} - 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})) - 8 x y^{5} y}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.13.1.2

Factorisez $8 x$ à partir de $- 8 x y^{5} y$ .

$y' = \frac{8 x (x^{2} (- x^{4} - 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})) + 8 x (- 1 y^{5} y)}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.13.1.3

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x (x^{2} (- x^{4} - 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})) + 8 x (- 1 y^{5} y)$ .

$y' = \frac{8 x (x^{2} (- x^{4} - 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{4}) - 1 y^{5} y)}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.13.2

Associez les exposants.

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Étape 5.5.3.13.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{8 x (x^{2} (- x^{4} - 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{4}) - 1 (y^{1} y^{5}))}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.13.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{8 x (x^{2} (- x^{4} - 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{4}) - 1 y^{1 + 5})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.13.2.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$y' = \frac{8 x (x^{2} (- x^{4} - 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{4}) - 1 y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.13.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.13.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{8 x (x^{2} (- x^{4}) + x^{2} (- 3 x^{2} y^{2}) + x^{2} (- 3 y^{4}) - 1 y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.13.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.13.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{8 x (- x^{2} x^{4} + x^{2} (- 3 x^{2} y^{2}) + x^{2} (- 3 y^{4}) - 1 y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.13.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{8 x (- x^{2} x^{4} - 3 x^{2} (x^{2} y^{2}) + x^{2} (- 3 y^{4}) - 1 y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.13.3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{8 x (- x^{2} x^{4} - 3 x^{2} (x^{2} y^{2}) - 3 x^{2} y^{4} - 1 y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.13.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.13.3.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.13.3.3.1.1

Déplacez $x^{4}$ .

$y' = \frac{8 x (- (x^{4} x^{2}) - 3 x^{2} (x^{2} y^{2}) - 3 x^{2} y^{4} - 1 y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.13.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{8 x (- x^{4 + 2} - 3 x^{2} (x^{2} y^{2}) - 3 x^{2} y^{4} - 1 y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.13.3.3.1.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{6} - 3 x^{2} (x^{2} y^{2}) - 3 x^{2} y^{4} - 1 y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.13.3.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.13.3.3.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{6} - 3 (x^{2} x^{2}) y^{2} - 3 x^{2} y^{4} - 1 y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.13.3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{8 x (- x^{6} - 3 x^{2 + 2} y^{2} - 3 x^{2} y^{4} - 1 y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.13.3.3.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{6} - 3 x^{4} y^{2} - 3 x^{2} y^{4} - 1 y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.13.3.4

Réécrivez $- 1 y^{6}$ comme $- y^{6}$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{6} - 3 x^{4} y^{2} - 3 x^{2} y^{4} - y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.14

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.5.3.14.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{6}$ .

$y' = \frac{8 x (- (x^{6}) - 3 x^{4} y^{2} - 3 x^{2} y^{4} - y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.14.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{4} y^{2}$ .

$y' = \frac{8 x (- (x^{6}) - (3 x^{4} y^{2}) - 3 x^{2} y^{4} - y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.14.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{6}) - (3 x^{4} y^{2})$ .

$y' = \frac{8 x (- (x^{6} + 3 x^{4} y^{2}) - 3 x^{2} y^{4} - y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.14.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2} y^{4}$ .

$y' = \frac{8 x (- (x^{6} + 3 x^{4} y^{2}) - (3 x^{2} y^{4}) - y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.14.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{6} + 3 x^{4} y^{2}) - (3 x^{2} y^{4})$ .

$y' = \frac{8 x (- (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4}) - y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.14.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{6}$ .

$y' = \frac{8 x (- (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4}) - (y^{6}))}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.14.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4}) - (y^{6})$ .

$y' = \frac{8 x (- (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + y^{6}))}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.14.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.3.14.8.1

Réécrivez $- (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + y^{6})$ comme $- 1 (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + y^{6})$ .

$y' = \frac{8 x (- 1 (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + y^{6}))}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.14.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{(8 x) (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 5.5.3.14.8.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(8 x) (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$ .

$y' = - \frac{8 x (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x (x^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + y^{6})}{y (8 x^{6} + 24 y^{2} x^{4} + 24 y^{4} x^{2} + 8 y^{6} - 9 y)}$