Calcul infinitésimal Exemples

$π \int_{0}^{2} {(4 - x^{2})}^{2} d x$

Étape 1

Développez ${(4 - x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez ${(4 - x^{2})}^{2}$ comme $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ .

$π \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) d x$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$π \int_{0}^{2} 4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) d x$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) d x$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) d x$

Étape 1.5

Déplacez $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) d x$

Étape 1.6

Déplacez $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Étape 1.7

Multipliez $4$ par $4$ .

$π \int_{0}^{2} 16 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Étape 1.8

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Étape 1.9

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Étape 1.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{2} x^{2} d x$

Étape 1.11

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{2} x^{2} d x$

Étape 1.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{2 + 2} d x$

Étape 1.13

Additionnez $2$ et $2$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4} d x$

Étape 1.14

Soustrayez $4 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 8 x^{2} + x^{4} d x$

Étape 1.15

Remettez dans l’ordre $- 8 x^{2}$ et $x^{4}$ .

$π \int_{0}^{2} 16 + x^{4} - 8 x^{2} d x$

Étape 1.16

Déplacez $16$ .

$π \int_{0}^{2} x^{4} - 8 x^{2} + 16 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$π (\int_{0}^{2} x^{4} d x + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Étape 4

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Étape 5

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Étape 7

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 16 x]_{0}^{2})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}$ et $16 x]_{0}^{2}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5} + 16 x]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{x^{5}}{5} + 16 x$ sur $2$ et sur $0$ .

$π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $0$ .

$π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3

Simplifiez

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Étape 9.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$π (\frac{32}{5} + 16 \cdot 2 - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.2

Multipliez $16$ par $2$ .

$π (\frac{32}{5} + 32 - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.3

Pour écrire $32$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{32}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.4

Associez $32$ et $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{32}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$π (\frac{32 + 32 \cdot 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.6.1

Multipliez $32$ par $5$ .

$π (\frac{32 + 160}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.6.2

Additionnez $32$ et $160$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.8

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 9.2.3.8.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 (0)}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.8.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0}{1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.8.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$π (\frac{192}{5} - (0 + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.9

Multipliez $16$ par $0$ .

$π (\frac{192}{5} - (0 + 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.10

Additionnez $0$ et $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 0 - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.11

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$π (\frac{192}{5} + 0 - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.12

Additionnez $\frac{192}{5}$ et $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.13

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.14

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}))$

Étape 9.2.3.15

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.2.3.15.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Étape 9.2.3.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.15.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 9.2.3.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 9.2.3.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}))$

Étape 9.2.3.15.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - 0))$

Étape 9.2.3.16

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} + 0))$

Étape 9.2.3.17

Additionnez $\frac{8}{3}$ et $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3}))$

Étape 9.2.3.18

Associez $- 8$ et $\frac{8}{3}$ .

$π (\frac{192}{5} + \frac{- 8 \cdot 8}{3})$

Étape 9.2.3.19

Multipliez $- 8$ par $8$ .

$π (\frac{192}{5} + \frac{- 64}{3})$

Étape 9.2.3.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$π (\frac{192}{5} - \frac{64}{3})$

Étape 9.2.3.21

Pour écrire $\frac{192}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{192}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3})$

Étape 9.2.3.22

Pour écrire $- \frac{64}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{192}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Étape 9.2.3.23

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.2.3.23.1

Multipliez $\frac{192}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Étape 9.2.3.23.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Étape 9.2.3.23.3

Multipliez $\frac{64}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Étape 9.2.3.23.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64 \cdot 5}{15})$

Étape 9.2.3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$π \frac{192 \cdot 3 - 64 \cdot 5}{15}$

Étape 9.2.3.25

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.25.1

Multipliez $192$ par $3$ .

$π \frac{576 - 64 \cdot 5}{15}$

Étape 9.2.3.25.2

Multipliez $- 64$ par $5$ .

$π \frac{576 - 320}{15}$

Étape 9.2.3.25.3

Soustrayez $320$ de $576$ .

$π \frac{256}{15}$

Étape 9.2.3.26

Associez $π$ et $\frac{256}{15}$ .

$\frac{π \cdot 256}{15}$

Étape 9.2.3.27

Déplacez $256$ à gauche de $π$ .

$\frac{256 π}{15}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{256 π}{15}$

Forme décimale :

$53.61651462 \dots$

Étape 11