Calcul infinitésimal Exemples

${(1 + \sin (x))}^{2}$

Étape 1

Écrivez ${(1 + \sin (x))}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

Étape 4

Développez ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez ${(1 + \sin (x))}^{2}$ comme $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\int (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

Étape 4.5

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Étape 4.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Étape 4.7

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Étape 4.8

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Étape 4.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

Étape 4.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

Étape 4.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

Étape 4.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Étape 4.13

Additionnez $\sin (x)$ et $\sin (x)$ .

$\int 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x + C + 2 \int \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Étape 8

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \sin^{2} (x) d x$

Étape 9

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (x)$ en $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Étape 11

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Étape 13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Étape 14

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 14.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 14.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 14.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 14.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 14.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 14.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 15

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 16

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Étape 17

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 18

Simplifiez

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 19

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 20.2

Appliquez la propriété distributive.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 20.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 20.4

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

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Étape 20.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 20.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Étape 21

Remettez les termes dans l’ordre.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Étape 22

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$