Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \sqrt{3}} \frac{x^{2}}{\sqrt{12 - x^{2}}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \sqrt{3}} x^{2}}{lim_{x \to \sqrt{3}} \sqrt{12 - x^{2}}}$

Étape 2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{lim_{x \to \sqrt{3}} \sqrt{12 - x^{2}}}$

Étape 3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{lim_{x \to \sqrt{3}} 12 - x^{2}}}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{lim_{x \to \sqrt{3}} 12 - lim_{x \to \sqrt{3}} x^{2}}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{12 - lim_{x \to \sqrt{3}} x^{2}}}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{12 - {(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $\sqrt{3}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\sqrt{3}$ pour $x$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{\sqrt{12 - {(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\sqrt{3}$ pour $x$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Étape 8.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Étape 8.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Étape 8.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Étape 8.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{1}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Étape 8.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Étape 8.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Étape 8.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 8.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 8.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{1}}}$

Étape 8.2.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{\sqrt{12 - 1 \cdot 3}}$

Étape 8.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3}}$

Étape 8.2.3

Soustrayez $3$ de $12$ .

$\frac{3}{\sqrt{9}}$

Étape 8.2.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 8.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3}{3}$

Étape 8.3

Divisez $3$ par $3$ .

$1$