Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$

Étape 1

Multipliez les exposants dans ${(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$ .

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Étape 1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sin (x^{3} + 7)}^{5 \cdot 9}]$

Étape 1.2

Multipliez $5$ par $9$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{45} (x^{3} + 7)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{45}$ et $g (x) = \sin (x^{3} + 7)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (x^{3} + 7)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{45}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 45$ .

$45 {u_{1}}^{44} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (x^{3} + 7)$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{3} + 7$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{3} + 7$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{3} + 7$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\cos (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 4.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + 0)$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2})$

Étape 4.4.2

Multipliez $3$ par $45$ .

$135 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$

Étape 4.4.3

Réorganisez les facteurs de $135 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$ .

$135 x^{2} \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7)$