Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\tan (2 x)}{1 - \cot (2 x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \tan (2 x)$ et $g (x) = 1 - \cot (2 x)$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) \cdot 2 - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x)) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cot (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 3.6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \cot (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cot (2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) (- \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 3.8

Multipliez.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + 1 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $\tan (2 x)$ par $1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée de $\cot (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1)}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 5.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- \cot (2 x))) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 \sec^{2} (2 x) + 2 (- \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) + 2 (- \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 6.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) - 2 \cot (2 x) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 6.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) - 2 \cot (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \tan (2 x) \csc^{2} (2 x)}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Étape 6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 \sec^{2} (2 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$