Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 3 x - 10}{\sqrt{4 x - 4} - x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 3 x - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez la limite de $10$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Étape 1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{2} + 3 \cdot 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 + 3 \cdot 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Étape 1.1.2.6.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{4 + 6 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Étape 1.1.2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$\frac{4 + 6 - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Étape 1.1.2.6.2

Additionnez $4$ et $6$ .

$\frac{10 - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Étape 1.1.2.6.3

Soustrayez $10$ de $10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - lim_{x \to 2} x}$

Étape 1.1.3.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 x - 4} - lim_{x \to 2} x}$

Étape 1.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} x}$

Étape 1.1.3.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} x}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4} - lim_{x \to 2} x}$

Étape 1.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 \cdot 2 - 1 \cdot 4} - lim_{x \to 2} x}$

Étape 1.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 \cdot 2 - 1 \cdot 4} - 2}$

Étape 1.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.7.1.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{8 - 1 \cdot 4} - 2}$

Étape 1.1.3.7.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{8 - 4} - 2}$

Étape 1.1.3.7.1.3

Soustrayez $4$ de $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{4} - 2}$

Étape 1.1.3.7.1.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 2}$

Étape 1.1.3.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{2 - 2}$

Étape 1.1.3.7.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 3 x - 10}{\sqrt{4 x - 4} - x} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3 x - 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Étape 1.3.5

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $2 x + 3$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{4 x - 4} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}]$ .

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Étape 1.3.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 x - 4}$ comme ${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 x - 4$ .

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Étape 1.3.8.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x - 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.8.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.12

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} (4 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.13

Additionnez $4$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.14

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.15

Associez $\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4}{2} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.16

Déplacez $4$ à gauche de ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{4 \cdot {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.17

Placez ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{4}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.18

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.8.19.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.19.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8.19.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.3.9.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.9.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - 1}$

Étape 1.4

Réécrivez ${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{4 x - 4}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} - 1}$

Étape 1.5

Associez des termes.

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Étape 1.5.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} - 1 \cdot \frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

Étape 1.5.2

Associez $- 1$ et $\frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} + \frac{- \sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

Étape 1.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 - \sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

Étape 2

Comme la fonction approche de $\infty$ depuis la gauche et $- \infty$ depuis la droite, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$