Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (a x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = a x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $a x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [a x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $a x$ .

$\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (a x) (a \cdot 1)$

Étape 1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $a$ par $1$ .

$\cos (a x) a$

Étape 1.2.3.2

Réorganisez les facteurs de $\cos (a x) a$ .

$f' (x) = a \cos (a x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a \cos (a x)$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = a x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $a x$ .

$a (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$a (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $a x$ .

$a (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Étape 2.3

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a (- \sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.4

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$a^{1} a (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.5

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$a^{1} a^{1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{1 + 1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) \cdot 1)$

Étape 2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x))$

Étape 2.9.2

Réorganisez les facteurs de $a^{2} (- \sin (a x))$ .

$f'' (x) = - a^{2} \sin (a x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $- a^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- a^{2} \sin (a x)$ par rapport à $x$ est $- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$ .

$- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = a x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $a x$ .

$- a^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- a^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $a x$ .

$- a^{2} (\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Étape 3.3

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$- a^{2} (\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.4

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$- (a^{1} a^{2}) (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- a^{1 + 2} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.6

Additionnez $1$ et $2$ .

$- a^{3} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- a^{3} (\cos (a x) \cdot 1)$

Étape 3.8

Multipliez $\cos (a x)$ par $1$ .

$f''' (x) = - a^{3} \cos (a x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $- a^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- a^{3} \cos (a x)$ par rapport à $x$ est $- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = a x$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $a x$ .

$- a^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Étape 4.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- a^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $a x$ .

$- a^{3} (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Étape 4.3.2

Multipliez $a^{3}$ par $1$ .

$a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Étape 4.3.3

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a^{3} (\sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.4

Multipliez $a^{3}$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1

Déplacez $a$ .

$a \cdot a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.4.2

Multipliez $a$ par $a^{3}$ .

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Étape 4.4.2.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$a^{1} a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{1 + 3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.4.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$a^{4} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$a^{4} (\sin (a x) \cdot 1)$

Étape 4.6

Multipliez $\sin (a x)$ par $1$ .

$f^{4} (x) = a^{4} \sin (a x)$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $a^{4} \sin (a x)$ .

$a^{4} \sin (a x)$