Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin^{3} (2 x) \cos^{2} (2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sin^{3} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin^{3} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{3} (u_{1})}{2} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.2

Associez $\frac{\sin^{3} (u_{1})}{2}$ et $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{3} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \sin^{3} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Factorisez $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ comme $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , donc $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Étape 6.1.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int (- 1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 7

Multipliez $(- 1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez $- 1 {u_{2}}^{2}$ comme $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 8.2

Multipliez ${u_{2}}^{2}$ par ${u_{2}}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Étape 8.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{1}{2} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int - {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (- \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{4}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C)$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

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Étape 13.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C)$

Étape 13.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C)$

Étape 13.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1}) + \frac{1}{5} \cos^{5} (u_{1})) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cos^{3} (2 x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (2 x)) + C$