Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} d x$

Étape 1

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Étape 1.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 3 - 1$

Étape 1.5

Soustrayez $1$ de $3$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{2} \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Retirez $u^{\frac{4}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{0}^{2} {(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{2} u^{\frac{4}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $- 1$ .

$\int_{0}^{2} u^{\frac{4 \cdot - 1}{3}} d u$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int_{0}^{2} u^{\frac{- 4}{3}} d u$

Étape 2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{0}^{2} u^{- \frac{4}{3}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{4}{3}}$ par rapport à $u$ est $- 3 u^{- \frac{1}{3}}$ .

$- 3 u^{- \frac{1}{3}}]_{0}^{2}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez $- 3 u^{- \frac{1}{3}}$ sur $2$ et sur $0$ .

$(- 3 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}) + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

Étape 4.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

Étape 4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

Étape 4.2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.2.5

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{{(0^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.2.6

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 4.2.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 4.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{1}}$

Étape 4.2.8

Évaluez l’exposant.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0}$

Étape 4.2.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0}$

Étape 4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0}$

Étape 5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini