Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$

Étape 1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.2.2

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot 1)$

Étape 5.4

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$