Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\infty} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Étape 2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{0}^{t} \frac{1}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Étape 3

Laissez $u = x + 4$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = x + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $4$ .

$u_{lower} = 4$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x + 4$ .

$u_{upper} = t + 4$

Étape 3.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 4$

Étape 3.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} \frac{1}{u^{4}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $u^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} {(u^{4})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{4 \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{- 4} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 4}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} u^{- 3}]_{4}^{t + 4})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $u^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{u^{- 3}}{3}]_{4}^{t + 4})$

Étape 6.2

Placez $u^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 u^{3}}]_{4}^{t + 4})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $- \frac{1}{3 u^{3}}$ sur $t + 4$ et sur $4$ .

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 4^{3}})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 64})$

Étape 7.2.2

Multipliez $3$ par $64$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192})$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Évaluez la limite.

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Étape 8.1.1

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192}$

Étape 8.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Étape 8.1.3

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Étape 8.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{{(t + 4)}^{3}}$ approche de $0$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Étape 8.3

Évaluez la limite.

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Étape 8.3.1

Évaluez la limite de $\frac{1}{192}$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{192})$

Étape 8.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.2.1

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{192})$

Étape 8.3.2.1.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$5 (0 + \frac{1}{192})$

Étape 8.3.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{1}{192}$ .

$5 (\frac{1}{192})$

Étape 8.3.2.3

Associez $5$ et $\frac{1}{192}$ .

$\frac{5}{192}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{192}$

Forme décimale :

$0.026041\overline{6}$