Calcul infinitésimal Exemples

$0 = x y + y^{3} - 5 - x^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (0) = \frac{d}{d x} (x y + y^{3} - 5 - x^{2})$

Étape 2

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + y^{3} - 5 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x y' + y + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x y' + y + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y' + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y' + 0 - (2 x)$

Étape 3.5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y' + 0 - 2 x$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Additionnez $x y' + y + 3 y^{2} y'$ et $0$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y' - 2 x$

Étape 3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x y' + 3 y^{2} y' - 2 x + y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$0 = x y' + 3 y^{2} y' - 2 x + y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $x y' + 3 y^{2} y' - 2 x + y = 0$ .

$x y' + 3 y^{2} y' - 2 x + y = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x y' + 3 y^{2} y' + y = 2 x$

Étape 5.2.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + 3 y^{2} y' = 2 x - y$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $x y' + 3 y^{2} y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $x y'$ .

$y' x + 3 y^{2} y' = 2 x - y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$y' (x) + y' (3 y^{2}) = 2 x - y$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (x + 3 y^{2}) = 2 x - y$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (x + 3 y^{2}) = 2 x - y$ par $x + 3 y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (x + 3 y^{2}) = 2 x - y$ par $x + 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (x + 3 y^{2})}{x + 3 y^{2}} = \frac{2 x}{x + 3 y^{2}} + \frac{- y}{x + 3 y^{2}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 3 y^{2}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 3 y^{2})}{x + 3 y^{2}} = \frac{2 x}{x + 3 y^{2}} + \frac{- y}{x + 3 y^{2}}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x}{x + 3 y^{2}} + \frac{- y}{x + 3 y^{2}}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 x - y}{x + 3 y^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x + 3 y^{2}}$