Calcul infinitésimal Exemples

$0 = - 2 y^{2} + x^{2} + x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (0) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{2} + x^{2} + x)$

Étape 2

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 y^{2} + x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 y y' + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 y y' + 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 y y' + 2 x + 1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$0 = - 4 y y' + 2 x + 1$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 y y' + 2 x + 1 = 0$ .

$- 4 y y' + 2 x + 1 = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y y' + 1 = - 2 x$

Étape 5.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y y' = - 2 x - 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 4 y y' = - 2 x - 1$ par $- 4 y$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 y y' = - 2 x - 1$ par $- 4 y$ .

$\frac{- 4 y y'}{- 4 y} = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 y y'}{- 4 y} = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $- 4$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- 2 (x)}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4 y$ .

$y' = \frac{- 2 (x)}{- 2 (2 y)} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 (2 y)} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Étape 5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x}{2 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Étape 5.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y' = \frac{x}{2 y} + \frac{1}{4 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{1}{4 y}$