Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{2} + x = 3 y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + x) = \frac{d}{d x} (3 y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 1$

Étape 2.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{2} + 2 x y y' + 1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y^{2} + 2 x y y' + 1 = 3 y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $3 y'$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} + 2 x y y' + 1 - 3 y' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y y' + 1 - 3 y' = - y^{2}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y y' - 3 y' = - y^{2} - 1$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $2 x y y' - 3 y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 x y y'$ .

$y' (2 x y) - 3 y' = - y^{2} - 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y'$ .

$y' (2 x y) + y' \cdot - 3 = - y^{2} - 1$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 x y) + y' \cdot - 3$ .

$y' (2 x y - 3) = - y^{2} - 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (2 x y - 3) = - y^{2} - 1$ par $2 x y - 3$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 x y - 3) = - y^{2} - 1$ par $2 x y - 3$ .

$\frac{y' (2 x y - 3)}{2 x y - 3} = \frac{- y^{2}}{2 x y - 3} + \frac{- 1}{2 x y - 3}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2 x y - 3$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 x y - 3)}{2 x y - 3} = \frac{- y^{2}}{2 x y - 3} + \frac{- 1}{2 x y - 3}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 x y - 3} + \frac{- 1}{2 x y - 3}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{2 x y - 3}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) - 1}{2 x y - 3}$

Étape 5.4.3.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) - 1 (1)}{2 x y - 3}$

Étape 5.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2}) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} + 1)}{2 x y - 3}$

Étape 5.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.3.5.1

Réécrivez $- (y^{2} + 1)$ comme $- 1 (y^{2} + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} + 1)}{2 x y - 3}$

Étape 5.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2} + 1}{2 x y - 3}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 1}{2 x y - 3}$