Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} - 1$ , $y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{2} - 1 = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Étape 1.2

Résolvez $x^{2} - 1 = \frac{3}{x^{2} + 1}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$

Étape 1.2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2} + 1, 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Étape 1.2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$1, x^{2} + 1, 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Étape 1.2.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2} + 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Étape 1.2.3

Multiplier chaque terme dans $x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$ par $x^{2} + 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez chaque terme dans $x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$ par $x^{2} + 1$ .

$x^{2} (x^{2} + 1) = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Étape 1.2.3.2.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{4} + x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{4} + x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Étape 1.2.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{4} + x^{2} = 3 + 1 (x^{2} + 1)$

Étape 1.2.3.3.1.2

Multipliez $x^{2} + 1$ par $1$ .

$x^{4} + x^{2} = 3 + x^{2} + 1$

Étape 1.2.3.3.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{4} + x^{2} = x^{2} + 4$

Étape 1.2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.4.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} + x^{2} - x^{2} = 4$

Étape 1.2.4.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{4} + x^{2} - x^{2}$ .

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Étape 1.2.4.1.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$x^{4} + 0 = 4$

Étape 1.2.4.1.2.2

Additionnez $x^{4}$ et $0$ .

$x^{4} = 4$

Étape 1.2.4.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{4}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{4}$ .

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Étape 1.2.4.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{2^{2}}$

Étape 1.2.4.3.2

Réécrivez $\sqrt[4]{2^{2}}$ comme $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ .

$x = \pm \sqrt{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 1.2.4.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 1.2.4.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.4.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 1.2.4.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 1.2.4.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = \sqrt{2}$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{2}$ .

$y = \frac{3}{{(\sqrt{2})}^{2} + 1}$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $\sqrt{2}$ dans $y = \frac{3}{{(\sqrt{2})}^{2} + 1}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3}{{\sqrt{2}}^{2} + 1}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $\frac{3}{{\sqrt{2}}^{2} + 1}$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.2.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.3.2.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Étape 1.3.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{3}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Étape 1.3.2.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \frac{3}{2^{\frac{2}{2}} + 1}$

Étape 1.3.2.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.2.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3}{2^{\frac{2}{2}} + 1}$

Étape 1.3.2.2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{3}{2^{1} + 1}$

Étape 1.3.2.2.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{3}{2 + 1}$

Étape 1.3.2.2.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = \frac{3}{3}$

Étape 1.3.2.2.2

Divisez $3$ par $3$ .

$y = 1$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\sqrt{2}, 1)$

$(- \sqrt{2}, 1)$

$(\sqrt{2}, 1)$

$(- \sqrt{2}, 1)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} - 1 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- \sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - (x^{2} - 1) d x$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} - - 1$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} + 1 d x$

Étape 3.3

Pour écrire $- x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Étape 3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.1

Associez $- x^{2}$ et $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1$

Étape 3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 - x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3 - x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 - x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Étape 3.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 - (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Étape 3.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 - x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Étape 3.5.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{3 - x^{4} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Étape 3.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 - x^{4} - x^{2}}{x^{2} + 1} + 1$

Étape 3.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Étape 3.6

Associez en une fraction.

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Étape 3.6.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 3.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} - x^{2} + 3 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{- x^{4} + 0 + 3 + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 3.7.2

Additionnez $- x^{4}$ et $0$ .

$\frac{- x^{4} + 3 + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 3.7.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{- x^{4} + 4}{x^{2} + 1}$

Étape 3.7.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{- x^{4} + 2^{2}}{x^{2} + 1}$

Étape 3.7.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{- {(x^{2})}^{2} + 2^{2}}{x^{2} + 1}$

Étape 3.7.6

Remettez dans l’ordre $- {(x^{2})}^{2}$ et $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} - {(x^{2})}^{2}}{x^{2} + 1}$

Étape 3.7.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x^{2}$ .

$\frac{(2 + x^{2}) (2 - x^{2})}{x^{2} + 1}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{(2 + x^{2}) (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.8

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 (2 - x^{2}) + x^{2} (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.9

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 (- x^{2}) + x^{2} (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.10

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 (- x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.11.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $2$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot x^{2} + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.11.2

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $- 1$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot x^{2} - 1 \cdot x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.11.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{2} - 1 x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.11.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 1 x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.12

Factorisez le signe négatif.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - (x^{2} x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - x^{2 + 2}}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.14

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.15

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 + 0 - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.16

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.16.1

Soustrayez $x^{4}$ de $0$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.16.2

Remettez dans l’ordre $4$ et $- x^{4}$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} + 4}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.17

Divisez $- x^{4} + 4$ par $x^{2} + 1$ .

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Étape 3.17.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Étape 3.17.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Étape 3.17.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Étape 3.17.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{4} + 0 - x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Étape 3.17.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Étape 3.17.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Étape 3.17.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Étape 3.17.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

Étape 3.17.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 0 + 1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

Étape 3.17.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

$3$

Étape 3.17.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} + 1 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.18

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.19

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.20

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.21

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.22

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.23

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.24

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.24.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 3.24.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 3.25

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Étape 3.26

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.26.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.26.1.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $\sqrt{2}$ et sur $- \sqrt{2}$ .

$- ((\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Étape 3.26.1.2

Évaluez $x$ sur $\sqrt{2}$ et sur $- \sqrt{2}$ .

$- (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Étape 3.26.1.3

Évaluez $\arctan (x)$ sur $\sqrt{2}$ et sur $- \sqrt{2}$ .

$- (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Étape 3.26.1.4

Simplifiez

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Étape 3.26.1.4.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Étape 3.26.1.4.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Étape 3.26.1.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{2}))}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Étape 3.26.1.4.4

Appliquez la règle de produit à $- (\sqrt{2})$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Étape 3.26.1.4.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Étape 3.26.1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Étape 3.26.1.4.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Étape 3.26.1.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - - \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Étape 3.26.1.4.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} + 1 \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Étape 3.26.1.4.10

Multipliez $\frac{\sqrt{8}}{3}$ par $1$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} + \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Étape 3.26.1.4.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8}}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Étape 3.26.1.4.12

Additionnez $\sqrt{8}$ et $\sqrt{8}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Étape 3.26.1.4.13

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + 2 \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Étape 3.26.1.4.14

Pour écrire $3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot \frac{3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Étape 3.26.1.4.15

Associez $3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \frac{3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot 3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Étape 3.26.1.4.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 \sqrt{8} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot 3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Étape 3.26.1.4.17

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{- 2 \sqrt{8} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Étape 3.26.2

Simplifiez

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Étape 3.26.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.26.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{- 2 \sqrt{4 (2)} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Étape 3.26.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Étape 3.26.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{- 2 (2 \sqrt{2}) + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Étape 3.26.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Étape 3.26.3

Simplifiez

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Étape 3.26.3.1

Évaluez $\arctan (- \sqrt{2})$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - - 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Étape 3.26.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 0.95531661$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) + 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Étape 3.26.3.3

Évaluez $\arctan (\sqrt{2})$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (0.95531661 + 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Étape 3.26.3.4

Additionnez $0.95531661$ et $0.95531661$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 \cdot 1.91063323}{3} + 2 \sqrt{2}$

Étape 3.26.3.5

Multipliez $9$ par $1.91063323$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 17.19569912}{3} + 2 \sqrt{2}$

Étape 3.26.3.6

Additionnez $- 4 \sqrt{2}$ et $17.19569912$ .

$\frac{11.53884487}{3} + 2 \sqrt{2}$

Étape 3.26.3.7

Divisez $11.53884487$ par $3$ .

$3.84628162 + 2 \sqrt{2}$

Étape 3.26.3.8

Additionnez $3.84628162$ et $2 \sqrt{2}$ .

$6.67470875$

Étape 4