Calcul infinitésimal Exemples

$f (θ) = \sin (θ + \frac{π}{3})$ , $θ = 0$

Étape 1

Étudiez la fonction utilisée pour déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Étape 2

Remplacez la valeur de $a = 0$ dans la fonction de linéarisation.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Étape 3

Évaluez $f (0)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez la variable $θ$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \sin ((0) + \frac{π}{3})$

Étape 3.2

Simplifiez $\sin ((0) + \frac{π}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$\sin ((0) + \frac{π}{3})$

Étape 3.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{π}{3}$ .

$\sin (\frac{π}{3})$

Étape 3.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4

Déterminez la dérivée et évaluez-la sur $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée de $f (θ) = \sin (θ + \frac{π}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \sin (θ)$ et $g (θ) = θ + \frac{π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $θ + \frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Étape 4.1.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Étape 4.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $θ + \frac{π}{3}$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $θ + \frac{π}{3}$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}]$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (1 + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

Étape 4.1.2.3

Comme $\frac{π}{3}$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $\frac{π}{3}$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (1 + 0)$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) \cdot 1$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $\cos (θ + \frac{π}{3})$ par $1$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3})$

Étape 4.2

Remplacez la variable $θ$ par $0$ dans l’expression.

$\cos ((0) + \frac{π}{3})$

Étape 4.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Additionnez $0$ et $\frac{π}{3}$ .

$\cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.3.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 5

Remplacez les composants dans la fonction de linéarisation afin de déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (x - 0)$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Soustrayez $0$ de $x$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} x$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2}$

Étape 7