Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \sin (2 x + 6)}{3 + x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 3} 3 \sin (2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 3} \sin (2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Étape 1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{3 \sin (lim_{x \to - 3} 2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Étape 1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{3 \sin (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Étape 1.2.1.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 \sin (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Étape 1.2.1.5

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{3 \sin (2 lim_{x \to - 3} x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{3 \sin (2 \cdot - 3 + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{3 \sin (- 6 + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Étape 1.2.3.2

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$\frac{3 \sin (0)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Étape 1.2.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Étape 1.2.3.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 + lim_{x \to - 3} x}$

Étape 1.3.1.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{3 + lim_{x \to - 3} x}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Étape 1.3.3

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \sin (2 x + 6)}{3 + x} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sin (2 x + 6)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 6)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x + 6$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\cos (2 x + 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Étape 3.4

Supprimez les parenthèses.

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Étape 3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Étape 3.9

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Étape 3.10

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Étape 3.11

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Étape 3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.13

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{0 + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{0 + 1}$

Étape 3.15

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{1}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez $6 \cos (2 x + 6)$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} 6 \cos (2 x + 6)$

Étape 4.2

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$6 lim_{x \to - 3} \cos (2 x + 6)$

Étape 4.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$6 \cos (lim_{x \to - 3} 2 x + 6)$

Étape 4.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$6 \cos (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6)$

Étape 4.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$6 \cos (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6)$

Étape 4.6

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$6 \cos (2 lim_{x \to - 3} x + 6)$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$6 \cos (2 \cdot - 3 + 6)$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$6 \cos (- 6 + 6)$

Étape 6.2

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$6 \cos (0)$

Étape 6.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$6 \cdot 1$

Étape 6.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$