Calcul infinitésimal Exemples

$- x - 4 x^{2} = y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- x - 4 x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x - 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 1 - 4 (2 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 1 - 8 x$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 8 x - 1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 8 x - 1 = 2 y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $2 y y' = - 8 x - 1$ .

$2 y y' = - 8 x - 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $2 y y' = - 8 x - 1$ par $2 y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' = - 8 x - 1$ par $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 8 x}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 8 x}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y)} + \frac{- 1}{2 y}$

Étape 5.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Étape 5.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 4 x}{y} + \frac{- 1}{2 y}$

Étape 5.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{4 x}{y} + \frac{- 1}{2 y}$

Étape 5.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{4 x}{y} - \frac{1}{2 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y} - \frac{1}{2 y}$