Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 6.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 6.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 6.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 6.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 9

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 9.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 9.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 9.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 9.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int x^{- 2} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - (- x^{- 1} + C)$

Étape 11

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Étape 11.1

Simplifiez

$x^{\frac{1}{2}} - - x^{- 1} + C$

Étape 11.2

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- 1} + C$

Étape 11.2.2

Multipliez $x^{- 1}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} + C$