Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} \frac{y^{3} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{3} - 2 y^{2} - y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

Étape 1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y^{2}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) - y}{y^{2}} d y$

Étape 1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

Étape 1.1.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y^{2} + y (- 2 y)$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

Étape 1.1.5

Factorisez $y$ à partir de $y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y^{2}} d y$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{3} \frac{y^{2} - 2 y - 1}{y} d y$

Étape 2

Divisez $y^{2} - 2 y - 1$ par $y$ .

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Étape 2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

Étape 2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$

Étape 2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

Étape 2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y^{2} + 0$

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

Étape 2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$

Étape 2.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

Étape 2.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

Étape 2.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					-	$2 y$	+	$0$

Étape 2.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 y + 0$

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$

Étape 2.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$
							-	$1$

Étape 2.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int_{1}^{3} y - 2 - \frac{1}{y} d y$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{3} y d y + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3}$ et $- 2 y]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{1}{2} y^{2} - 2 y$ sur $3$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\ln (| y |)$ sur $3$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $9$ .

$\frac{9}{2} - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{9}{2} - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.4

Pour écrire $- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.5

Associez $- 6$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 - 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.7.1

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$\frac{9 - 12}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.7.2

Soustrayez $12$ de $9$ .

$\frac{- 3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.10

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.11

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.12

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.13

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.15.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 4}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.15.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{- 3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2} - - \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.17

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.18

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.19

Additionnez $- \frac{3}{2}$ et $\frac{3}{2}$ .

$0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.2.3.20

Soustrayez $\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)$ de $0$ .

$- (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$- \ln (\frac{3}{| 1 |})$

Étape 8.4.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$- \ln (\frac{3}{1})$

Étape 8.4.3

Divisez $3$ par $1$ .

$- \ln (3)$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \ln (3)$

Forme décimale :

$- 1.09861228 \dots$

Étape 10