Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 \sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{\sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 2.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 2.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$2 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 3

Laissez $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Alors $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , donc $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 3.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 3.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 3.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.1.8

Simplifiez

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Étape 3.1.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.1.8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$2 \int 2 \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 (2 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6

Factorisez $\sin^{2} (u_{1})$ .

$4 \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 7

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ comme $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$4 \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 8

Laissez $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , donc $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 8.1

Laissez $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Étape 8.1.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$4 \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$4 (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$4 (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$4 (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{3}$ et ${u_{2}}^{3}$ .

$4 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

Étape 12.2

Simplifiez

$4 (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Étape 13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (u_{1})$ .

$4 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

Étape 13.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})) + C$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$4 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}) + C$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (- \cos (x^{\frac{1}{2}})) + 4 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Étape 14.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + 4 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Étape 14.4

Associez $4$ et $\frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}$ .

$- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{4 \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{4}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}}) + C$