Calcul infinitésimal Exemples

$x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15}$

Étape 1

Écrivez $x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15}$ comme une fonction.

$f (x) = x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15} d x$

Étape 4

Laissez $u = x^{2} + 7$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x^{2} + 7$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 4.1.4

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{15} \frac{1}{2} d u$

Étape 5

Associez $u^{15}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{15}}{2} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int u^{15} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{15}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{16} u^{16}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{16} u^{16} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{1}{16} u^{16} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} u^{16} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} u^{16} + C$

Étape 8.2

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Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 16} u^{16} + C$

Étape 8.2.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{1}{32} u^{16} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 7$ .

$\frac{1}{32} {(x^{2} + 7)}^{16} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{32} {(x^{2} + 7)}^{16} + C$