Calcul infinitésimal Exemples

$y = - 2 \cos (x) + 5$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 \cos (x) + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \sin (x) + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $2 \sin (x)$ et $0$ .

$2 \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 \sin (x) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 8

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 9

La solution de l’équation est $x = 0$ .

$x = 0, π$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 \cos (0)$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 12

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - 2 \cos (0) + 5$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1 + 5$

Étape 13.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (0) = - 2 + 5$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 2$ et $5$ .

$f (0) = 3$

Étape 13.2.3

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde sur $x = π$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 \cos (π)$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 15.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$2 (- \cos (0))$

Étape 15.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 15.3

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 15.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \cdot - 1$

Étape 15.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2$

Étape 16

$x = π$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = π$ est un maximum local

Étape 17

Déterminez la valeur y quand $x = π$ .

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Étape 17.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$f (π) = - 2 \cos (π) + 5$

Étape 17.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 17.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.2.1.1

$f (π) = - 2 (- \cos (0)) + 5$

Étape 17.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (π) = - 2 (- 1 \cdot 1) + 5$

Étape 17.2.1.3

Multipliez $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 17.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (π) = - 2 \cdot - 1 + 5$

Étape 17.2.1.3.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (π) = 2 + 5$

Étape 17.2.2

Additionnez $2$ et $5$ .

$f (π) = 7$

Étape 17.2.3

La réponse finale est $7$ .

$y = 7$

Étape 18

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - 2 \cos (x) + 5$ .

$(0, 3)$ est un minimum local

$(π, 7)$ est un maximum local

Étape 19